Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Mathematik f¨ur Physiker 3
Ubungsblatt 4, Abgabe bis 13. November 12 Uhr¨
Pr¨asenzaufgabe 1. (Rechnen mit Differenzialformen)
Gegeben seien die Differenzialformen
ω =xydx+ exdy+yzdz,
υ=z2dx∧dy+dx∧dz+ cosx·dy∧dz
und die VektorfelderF: (x, y, z)7→(1, x, 0)>sowieG: (x, y, z)7→(y, z, −1)>. Berech- nen Sie
(a) die Funktionenω(F) und υ(F, G);
(b) das Keilproduktω∧υ;
(c) die ¨außeren Ableitungendω und dυ.
Aufgabe 2. (Rechenregeln f¨ur Divergenz, Rotation und Gradient)
Divergenz, Rotation und Gradient eines Vektorfeldes F bzw. einer Funktion f im 3- dimensionalen Raum sind definiert als
divF =∂1F1+∂2F2+∂3F3, rotF =
∂2F3−∂3F2
∂3F1−∂1F3
∂1F2−∂2F1
, gradf = (∂1f, ∂2f, ∂3f)>
und k¨onnen suggestiv in der Form divF = h∇, Fi, rotF = ∇ ×F, gradf = ∇f mit
∇ = (∂1, ∂2, ∂3) geschrieben werden. Seien nun U ⊆ R3 offen und f: U → R sowie F, G:U →R3 zweimal stetig differenzierbar. Zeigen Sie, dass dann gilt:
rot gradf = 0, rot(f F) =frotF+ (gradf)×F, div rotF = 0, div(F ×G) =hrotF, Gi − hF,rotGi.
Aufgabe 3. (Differenzialformen im R3 und Divergenz, Rotation und Gradient)
Wir betrachten Vektoren mit drei Differenzialformen als Komponenten, also beispiel- sweise Vektorfelder U → R3 (deren Eintr¨age Funktionen und somit Differenzialformen der Ordnung 0 sind) oder
dX := (dx1, dx2, dx3)>, dS:= (dx2∧dx3, dx3∧dx1, dx1∧dx2)>. F¨ur solche Vektoren ω = (ωi)i, υ = (υi)i definieren wir hω, υi := Pn
i=1ωi ∧υi (dies ergibt eine Differenzialform und keine Zahl). F¨ur ein Vektorfeld F mit Komponenten F1, F2, F3 w¨are dann also
hF, dXi=F1dx1+F2dx2+F3dx3, hF, dSi=F1dx2∧dx3+F2dx3∧dx1+F3dx1∧dx2.
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Wend Werner
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Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Schliesslich seidV :=dx1∧dx2∧dx3. Zeigen Sie, dass f¨ur alle VektorfelderF, G, H und Funktionenf gilt:
hF, dXi ∧ hG, dXi=hF×G, dSi, hF, dXi ∧ hG, dSi=hF, GidV, hF, dXi ∧ hG, dXi ∧ hH, dXi= det(F G H)dV,
df =hgrad(f), dXi, dhF, dXi=hrot(F), dSi, dhG, dSi= div(G)dV.
Aufgabe 4. (Integration von Differenzialformen) Seien a, b >0 und
M =
(x, y, x+y)∈R3: x2 a2 +y2
b2 ≤1
⊂R3, ω(x, y) =ydx−xdy+xdz.
Wir versehenM mit der normalen Orientierung, dann wird∂M bei Projektion auf die x, y-Ebene dem Uhrzeigersinn entegegen orientiert. Berechnen Sie
(a) das Integral R
∂Mω mit Hilfe der Parametrisierung γ:t7→ (acost, bsint, acost+ bsint) und der Formel
Z
∂M
ω= Z 2π
0
ω(γ(t))(γ0(t))dt
(hier bezeichnetω(γ(t))(γ0(t)) die Differenzialformωan der Stelleγ(t) angewendet auf den Vektor γ0(t));
(b) das IntegralR
Mdωunter Verwendung der Parametrisierung Φ : (x, y)7→(x, y, x+y) und der Formel
Z
M
dω= Z
Φ−1(M)
dω(Φ(x, y))
∂Φ(x, y)
∂x ,∂Φ(x, y)
∂y
d(x, y).
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