Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen 8.11.2018
Ubungsblatt 4 zu Mathematik III f¨ ¨ ur Physiker
Aufgabe 120: (15 Punkte)
Es sei (X,k · k) ein Banachraum. Zeige:
a) U :={S:X→X∈L(X, X) :S invertierbar} ⊆L(X, X) ist offen.
b) ψ:U → L(X, X) S 7→ S−1
ist stetig und differenzierbar und ψ0(S) :L(X, X) → L(X, X) T 7→ −S−1T S−1 ist die Ableitung vonψ an der Stelle S∈U
c) Die Ableitung ψ0 :U → L(L(X, X), L(X, X)) S 7→ ψ0(S)
ist stetig.
Aufgabe 121: (15 Punkte)
Es seiH ein reeller Hilbertraum. Zeige F :H\{0} → ]0,∞[
ϕ 7→ kϕk
ist differenzierbar und die Ab- leitung F0 :H\{0} → L(H,R)
ϕ 7→ F0(ϕ)
ist wieder stetig.
Aufgabe 122: (10 Punkte)
a) Zeige, daß f :R3 → R x=
x1 x2
x3
7→ x21+ 2x62+ 3x43
differenzierbar ist und berechne f¨ur jedes
a∈R3 die Ableitung f0(a) vonf an der Stellea.
b) Zeige, daß g:R3\{0} → R2 x=
x1 x2 x3
7→
p3
x21+ 2x62+ 3x43 x1x2x3 x21+ 2x62+ 3x43
aufR3\{0}differenzierbar ist und
berechne f¨ur jedesa∈R3\{0} die Ableitungg0(a) von gan der Stelle a.
Abgabe je Zweier-/Dreiergruppe eine L¨osung bis Donnerstag 15.11.2018, 14 Uhr – vor der Vorlesung oder im ¨Ubungskasten vor der Bibiliothek, Theresienstraße 1. Stock
