Ubungsblatt 3 zu Mathematik III f¨ ¨ ur Physiker

Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen 31.10.2018

Ubungsblatt 3 zu Mathematik III f¨ ¨ ur Physiker

Aufgabe 117: (20 Punkte)

Es sei n ∈ N; Y1, ..., Yn, Z seien Banachr¨aume und φ : Y1 ×Y2 ×...×Yn → Z eine stetige multilineare Abbildung.

a) Zeige, daß C >0 existiert, so daß f¨ur alle y= (y1, ..., yn)∈Y1×Y2×...×Yn gilt:

||φ[(y₁, ..., yn)]|| ≤C||y₁||...||y_n||.

b) Zeige, daßφin jedem Punktb= (b₁, ..., b_n)∈Y₁×Y₂×...×Y_n differenzierbar ist und f¨ur alley = (y₁, ..., y_n)∈Y₁×Y₂×...×Y_n gilt :

φ⁰(b)[y] =

n

X

k=1

φ[(b1, ..., bk−1, yk, bk+1, ..., bn)] .

Aufgabe 118: (10 Punkte)

Es sei k∈ Nund Tk :l²(N) → C x= (x_n)n∈N 7→

k

X

n=1

x²_n

. Zeige, daß Tk differenzierbar in jedem a ∈l²(N)

ist und bestimme die AbleitungT_k⁰(a).

Hinweis: Daßl²(N) vollst¨andig ist, braucht nicht bewiesen zu werden.

Aufgabe 119: (10 Punkte)Zeige, daß f :R³ → R²



 x1

x2

x₃



 7→

x1x2x3

−x₁+ 2x₂+ 7x₃

in jedem Punkta∈R³ differenzierbar ist und berechne die Ableitung,

Abgabe je Zweier-/Dreiergruppe eine L¨osung bis Donnerstag 8.11.2018, 14 Uhr – vor der Vorlesung oder im ¨Ubungskasten vor der Bibiliothek, Theresienstraße 1. Stock