Mathematisches Institut der Universit¨at M¨unchen 18.10.2018
Ubungsblatt 1 zu Mathematik III f¨ ¨ ur Physiker
Aufgabe 110: (10 Punkte)
Zeige, daß die MengeK :={(−1)n2(1 + n12) :n∈N} ∪ {−1,1}inRversehen mit der Standard- topologie kompakt ist.
Aufgabe 111: (10 Punkte)
Sei (X, d) ein metrischer Raum,U ⊆X offen,X\U 6=∅und∅ 6=K ⊆X relativ kompakt inU. Zeige daß dist(K, X\U)>0 ist.
Aufgabe 112: (20 Punkte)
Betrachte den Raum aller stetigen Funktionen C([0,1],R) :={f : [0,1]→Rstetig}
mit der Norm kfk∞:= sup
x∈[0,1]
|f(x)|.
und zeige:
a) k · k∞ definiert eine Norm.
b) (C([0,1],R),k · k∞) ist vollst¨andig.
c) Der abgeschlossene Einheitskreis K(0,1) :={f ∈ C([0,1],R) : kfk∞ ≤1} ist beschr¨ankt, aber nicht totalbeschr¨ankt.
Hinweis: Betrachte Funktionen f : [0,1]→Rder Form
fn(x) =
1 f¨urx∈[0,2−(n+1)] 1−2n−1(x−2−(n+1)) f¨urx∈]2−(n+1),2−n[
0 f¨urx∈[2−n,1]
d) K(0,1) ist nicht kompakt.
L¨osungen in Zweier- / Dreiergruppen anfertigen und je Gruppe eine L¨osung ab- geben. Abgabe bis Donnerstag 25.10.2018, 14 Uhr – vor der Vorlesung oder im Ubungskasten vor der Bibiliothek, Theresienstraße 1. Stock¨
