Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Mathematik f¨ur Physiker 3
Ubungsblatt 3, Abgabe bis 6. November 12 Uhr¨
Pr¨asenzaufgabe 1. (Kugelkoordinaten im Raum)
(a) Die n-dimensionale Polarkoordinaten-Transformation Tn: Rn → Rn ist rekursiv definiert durch
T2
r φ
=
rcosφ rsinφ
, Tn
r φ θ1
... θn−2
=
sinθn−2·Tn−1
r φ θ1 ... θn−3
cosθn−2·r
f¨urn≥3.
Geben Sie T3 und T4 explizit an und berechnen Sie detT30(r, φ, θ1).
(b) Bestimmen Sie die Masse einer Kugel vom RadiusR, wenn sich die Dichte reziprok dem Quadrat des Abstands vom Mittelpunkt ver¨andert.
Aufgabe 2. (Guldinsche Regel und das Volumen des Torus)
(a) Seien a < b und f, g: [a, b]→ [0,∞) st¨uckweise stetig differenzierbar mit f(x) ≤ g(x) f¨ur alle x∈[a, b]. Bezeichne
• V das Volumen des Rotationsk¨orpers
{(x, y, z)∈[a, b]×R2 :f(x)≤p
y2+z2 ≤g(x)},
• A den Fl¨acheninhalt zwischen den Graphen von f undg,
• U den Umfang des Kreises, den der Schwerpunkt der Fl¨ache zwischen den Graphen bei der Rotation um diex-Achse beschreibt.
Beweisen Sie diezweite Guldinsche RegelV =AU.
(b) Seien R > r >0. Berechnen Sie das Volumen des Voll-Torus {(x, y, z)∈R3 :x2+ (p
y2+z2−R)2 ≤r2}.
Aufgabe 3. (Kugelkoordinaten im Raum)
Wir betrachten den K¨orper K, der von einem Viertel eines Kegels vom Winkel 60◦ (siehe Bild) durch die Kugel vom Radius r = 2 abgeschnitten wird, deren Mittelpunkt die Spitze des Kegels ist:
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Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Bestimmen Sie das Volumen und diez-Koordinate des Schwerpunktes von K.
Aufgabe 4. (Fl¨acheninhalt des Graphen einer Funktion zweier Variablen)
(a) Sei U ⊆R2,K ⊆U kompakt und F: U →R stetig differenzierbar von der Form F(x1, x2)= (x1, x2, x3(x1, x2)). Zeigen Sie:
A(F(K)) = Z
K
s 1 +
∂x3
∂x1 2
+ ∂x3
∂x2 2
dx.
(b) Bestimmen Sie den Fl¨acheninhalt des Teiles vom Kegelx2+y2= 3z2, der oberhalb der x, y-Ebene und innerhalb des Zylinders x2 +y2 = 4y liegt (siehe Skizze).
Verwenden Sie dazu die Projektion auf diex, y-Ebene und (a).
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