Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Mathematik f¨ur Physiker 2
Ubungsblatt 8, Abgabe bis 23. Juni 12 Uhr¨
Pr¨asenzaufgabe 1. Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen:
A=
0 1 0 0 2 1 0 0 0 4 1 1 1 2 0 7
, B =
1 t 1 t2 1 t
t t 1
,
C=
1 2 0 4 2 3 1 4 3 1 1 2 2 5 1 1
, D(m, n) =
1 m1 m
2
· · · mn
1 m+11 m+1
2
· · · m+1n ... ... ... ... 1 m+n1 m+n
2
· · · m+nn
.
(Hinweis: Benutzen Sie f¨ur die Matrix D(m, n) geeignete Zeilenumformungen und die Gleichung m+j+1i
= m+ji
+ m+ji−1
sowie Induktion ¨uber n.)
Aufgabe 2. (Vandermonde-Determinante)
Seien x1, . . . , xn∈C.
(a) Finden Sie eine Matrix V mit folgender Eingeschaft: f¨ur jedes Polynom P(X) = αn−1Xn−1+· · ·+α1X+α0 mit komplexen Koeffizienten α0, . . . , αn∈C gilt
α0 . . . αn−1
V = P(x1) . . . P(xn) ,
wobei links das Produkt eines Zeilenvektors mit einer Matrix gemeint ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Determinante derVandermonde-Matrix
V(x1, . . . , xn) =
1 1 · · · 1
x1 x2 · · · xn
... ... ... xn−11 xn−12 · · · xn−1n
.
gegeben ist durch detV(x1, . . . , xn) =Q
1≤i<j≤n(xj −xi).
(Hinweis: Ziehen Sie f¨urk= 1, . . . , n−1 jeweils geeignete Vielfache derk-ten von derk+ 1-ten Zeile ab und verwenden Sie dann Induktion ¨ubern.)
(c) Sei nunP(X) ein Polynom wie in (a) mit P(x1) =· · · =P(xn) = 0. Folgern Sie aus (b), dassP(X) = 0 oder xi=xj f¨ur eini6=j.
Aufgabe 3. (Basiswechsel f¨ur lineare Abbildungen)
Seif:V →V eine lineare Abbildung eines endlich-dimensionalen Vektorraumes.
(a) Seien B = (~b1, . . . ,~bn) und C = (~c1, . . . , ~cn) Basen von V und T = (tij)ij die zugeh¨orige Basiswechselmatrix, also
~ci =
n
X
j=1
tij~bj f¨uri= 1, . . . , n.
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Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Zeigen Sie, dass f¨ur die Darstellungsmatrizen von f bez¨uglich B und C gilt:
M(f)C = (T>)−1M(f)BT>.
(Hinweis: Sie k¨onnen Abschnitt 6.1.3 der Vorlesung und Aufgabe 1 von Blatt 6 verwenden oder direktT>M(f)C =M(f)BT> zeigen.)
(b) Berechnen Sie mittels (a) die Darstellungsmatrix der Abbildung
f:R2→R2, ~v7→
1 2 3 4
~v
bez¨uglich der Basis C, bestehend aus den Vektoren~c1 = 1
1
und~c2= 0
1
, und
¨
uberpr¨ufen Sie Ihr Ergebnis.
Aufgabe 4. (Determinante einer linearen Abbildung)
SeiV ein endlich-dimensionaler Vektorraum undf:V →V eine lineare Abbildung.
(a) Geben Sie eine sinnvolle Definition der Determinante von f und zeigen Sie, dass diese wohldefiniert, also unabh¨angig von irgendwelchen Wahlen (zum Beispiel einer Basis) ist.
(b) Sei nunV =Rn. Zeigen Sie, dass dann f¨ur alle~v1, . . . , ~vn∈Rn gilt:
Voln(f(~v1), . . . , f(~vn)) = det(f)·Voln(~v1, . . . , ~vn),
wobei Voln(w~1, . . . , ~wn) das Volumen des von den Vektorenw~1, . . . , ~wn aufgespan- nten n-Spats bezeichnet. (Hinweis: Benutzen Sie die Standard-Basis und den Determinanten-Multiplikationssatz.)
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