Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Mathematik f¨ur Physiker 2
Ubungsblatt 11, Abgabe bis 14. Juli 12 Uhr¨
Pr¨asenzaufgabe 1. (Gradienten und H¨ohenlinien)
(a) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen und den Gradienten der Funktion f :R2 →R, (x, y)7→x·y.
(b) Bestimmen Sie f¨ur jedes (x, y)∈R2 mitx6= 0 die Tangente an die H¨ohenlinie von f, die durch diesen Punkt geht.
(c) Zeigen Sie, dass diese Tangente senkrecht auf dem Gradienten vonf in (x, y) steht.
(d) Zeichnen Sie eine Skizze der H¨ohenlinien und Gradienten vonf.
L¨osung: (a) Die partiellen Ableitungen sind∂xf(x, y) =y,∂yf(x, y) =x, der Gradient also gradf(x, y) =
y x
.
(b) Die H¨ohenlinie wird gebildet durch die Punkte (u, v) mituv =xy. Wir l¨osen nach v auf und erhalten v(u) = xy/u, also als Ableitung v0(u) = −xy/u2 und im Punkt u = x dann v0(x) = −y/x. Die Tangente ist dann die Menge aller Punkte der Form (x, y) +t(1, v0(x))) = (x, y) +t(1,−y/x) mitt∈R.
(c) Die Tangente steht senkrecht auf dem Gradienten, weil
h(1,−y/x),(y, x)i=y−y/x·x=y−y = 0.
Aufgabe 2. (Polarkoordinaten in Dimension 3) Wir betrachten die Polarkoordinatentransformation
F :R3 →R3,
r θ φ
7→
rsinθcosφ rsinθsinφ
rcosθ
.
(a) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix von F.
L¨osung: Es gilt
F0(r, θ, φ) =
sinθcosφ rcosθcosφ −rsinθsinφ sinθsinφ rcosθsinφ rsinθcosφ
cosθ −rsinθ 0
.
(b) Berechnen Sie die Determinante det(F0(r, θ, φ)).
L¨osung: Die Sarrus-Regel liefert
det(F0(r, θ, φ)) =r2(cos2θsinθcos2φ+ sin3θsin2φ+
sin3θcos2φ+ cos2θsinθsin2φ) =r2sinθ.
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Wend Werner
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Aufgabe 3. (Berechnung von partiellen Ableitungen und Gradienten) Berechnen Sie
(a) die Jacobi-Matrix der Abbildung
G:R6 →R3, (v1, v2, v3, w1, w2, w3)7→v×w=
v2w3−v3w2 v3w1−v1w3 v1w2−v2w1
;
L¨osung: Die Jacobi-Matrix hat die Dimension (3×6).
f0(v1, v2, v3, w1, w2, w3) =
0 w3 −w2 0 −v3 v2
−w3 0 w1 v3 0 −v1 w2 −w1 0 −v2 v1 0
(b) den Gradienten vonf:Rn→R,x7→ hx, Axi, wobeiA∈Mn(R);
(Hinweis: F¨ur alle x, y∈Rn gilthx, Ayi=hy, A>xi.) L¨osung: Wir rechnen
f0(x)v= d dt t=0
hx+tv, A(x+tv)i
= d dt
t=0 hx, Axi+thx, Avi+thv, Axi+t2hv, Axi
=hx, Avi+hv, Axi=hv,(A>+A)xi, also gradf(x) = (A>+A)x.
(c) den Gradienten von det :M2(R)→Ran der Stellex=E2bez¨uglich des Skalarpro- duktshA, Bi:= Spur(A>B);
L¨osung: Wir rechnen det0(E2)A= d
dt t=0
det(E2+tA)
= d dt t=0
(1 +ta11)(1 +ta22)−ta12ta21=a11+a22, also grad det(E2) =E2.
(Hinweis: In (b) und (c) empfiehlt es sich, zuerst die Richtungsableitung h0(x)v der gegebenen Funktion h an der fraglichen Stelle x in eine beliebige Richtung v gem¨aß h0(x)v = dtd
t=0h(x+tv) zu berechnen und dann den Gradienten gradh(x) aus der Gleichungh0(x)v=hgradh(x), vi zu bestimmen.)
Aufgabe 4. (Ableitung der Invertierung von Matrizen)
Bezeichne GLn(R) ⊂Mn(R) die (offene) Teilmenge der invertierbaren n×n-Matrizen.
SeiA∈GLn(R) und F: GLn(R)→GLn(R) definiert durchF(X) =X−1.
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Wend Werner
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Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
(a) SeiB ∈Mn(R) und A+B invertierbar. Zeigen Sie, dass dann (A+B)−1−A−1=−(A+B)−1BA−1.
L¨osung: Wir multiplizieren links mit (A+B) und rechts mitA. Dann wird die rechte Seite−B und die linke ebenfalls
(A+B)((A+B)−1−A−1)A=A−(A+B) =−B.
Da A und A+B invertierbar sind, k¨onnen wir wieder mit (A+B)−1 bzw. A−1 multiplizieren und erhalten die gesuchte Gleichung.
(b) Aus (a) kann man folgern, dassF stetig ist. Sie d¨urfen diese Aussage ohne weiteren Beweis verwenden. Zeigen Sie nun, dassF differenzierbar ist und
F0(A)B =−A−1BA−1
erf¨ullt, indem Sie aus (a) und der Ungleichung kCkkDk ≤ kCkkDk f¨ur C, D ∈ Mn(R) folgern, dass
1
kBkkF(A+B)−F(A) +A−1BA−1k ≤ kA−1kkF(A)−F(A+B)k−−−−→kBk→0 0.
L¨osung: Mit den angegebenen Gleichungen erhalten wir 1
kBkkF(A+B)−F(A) +A−1BA−1k= 1
kBkkA−1BA−1−(A+B)−1BA−1k
≤ 1
kBkkF(A)−F(A+B)k|BkkA−1k
=kA−1kkF(A)−F(A+B)k
kBk→0
−−−−→0.
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