Zeigen Sie: (a) Ist (λn)n eine Folge in C und konvergiert die Reihe P∞ k=0|λk|kAkk, so konvergiert auch die Folge der Partialsummen Sn:=Pn k=0λkAk ∈L(Rd)

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W. Werner und T. Timmermann SS 13 Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker II

Blatt 11

Abgabe bis Freitag, 5. Juli, 12 Uhr Aufgabe zur Bearbeitung in der ¨Ubung

Aufgabe 1. Bestimmen Sie die Taylorreihe der Funktionf: R³ →R, (x, y, z)7→

xy+yz+zx, an der Stelle (1,1,0), indem Sie

(a) die erforderlichen partiellen Ableitungen berechnen beziehungsweise (b) f als Polynom in den Variablen ˜x=x−1, ˜y=y−1 und ˜z =zumschreiben.

Aufgaben zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 2. Sei k · k eine Norm auf R^d. Wir versehen den Raum L(R^d) wie in der Vorlesung mit derOperator-Norm,kAk= sup{kAxk:kxk ≤1}, bezeichnen mitGL(R^d)⊂L(R^d) die Menge der invertierbaren Abbildungen und vereinbaren A⁰ :=E_d f¨ur A∈L(R^d). Zeigen Sie:

(a) Ist (λ_n)_n eine Folge in C und konvergiert die Reihe P∞

k=0|λ_k|kAk^k, so konvergiert auch die Folge der Partialsummen Sn:=Pn

k=0λkA^k ∈L(R^d).

(b) Ist kAk < 1 und λ_n = 1 f¨ur alle n, so konvergiert die Folge (S_n)_n aus (a) und f¨ur den Grenzwert S := limnSn gilt S(Ed−A) =Ed= (Ed−A)S.

(c) Die Abbildung Inv : GL(R^d) → GL(R^d), A 7→ A⁻¹, ist an der Stelle E_d differenzierbar und Inv⁰(E_d)A=−A f¨ur alleA ∈L(R^d).

Aufgabe 3. F¨ur B ∈ L(R^d) definieren wir L_B, R_B: L(R^d) → L(R^d) durch L_BC =BC und R_BC =CB f¨ur alleC ∈L(R^d). Sei A∈GL(R^d). Zeigen Sie:

(a) Ist F: Rⁿ →R^m linear, so auch differenzierbar mit F⁰(~v) =F f¨ur~v ∈Rⁿ. (b) L_A und R_A⁻¹ bilden GL(R^d) auf sich selbst ab und Inv◦L_A =R_A⁻¹ ◦Inv.

(c) Inv⁰(A)◦L_A=R_A⁻¹ ◦Inv⁰(E_d) und Inv⁰(A)B =−A⁻¹BA⁻¹ f¨ur alle B.

Aufgabe 4. Sei U := {(r, φ) ∈ R² : r > 0} und Q: U → R² die Polar- koordinatentransformation, Q(r, φ) = (rcosφ, rsinφ). Ferner sei g: R² → R zweimal stetig differenzierbar undf =g◦Q. Dann gilt (Achtung: Im Kurzskript vom 24. Juni stehen falsche Formeln!)

∂

∂xg(rcosφ, rsinφ) = cosφ ∂

∂rf(r, φ)− sinφ r

∂

∂φf(r, φ),

∂

∂yg(rcosφ, rsinφ) = sinφ ∂

∂rf(r, φ) + cosφ r

∂

∂φf(r, φ).

Bitte wenden!

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(2)

Der Laplace-Operator ∆ ist definiert durch (∆g)(x, y) :=

∂²

∂x² + ∂²

∂y²

g(x, y) = ∂

∂x

∂

∂xg(x, y) + ∂

∂y

∂

∂yg(x, y).

Zeigen Sie:

(∆g)(rcosφ, rsinφ) = ∂²

∂r²f(r, φ) + 1 r

∂

∂rf(r, φ) + 1 r²

∂²

∂φ²f(r, φ).

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