Die Reihe konvergiert f¨ur|x|<1

Binomialreihe Die Funktion

f(x) = (1 +x)^s mit s ∈Rbesitzt die Taylor-Reihe

∞

X

k=0

s k

x^k = 1 +sx+s(s −1)

2! x²+s(s−1)(s−2)

3! x³+· · ·. Dabei bezeichnet

s k

= s(s−1)(s−2)· · ·(s−k+ 1) k!

den verallgemeinerten Binomialkoeffizient.

Die Reihe konvergiert f¨ur|x|<1.

1 / 2

Beweis

s = 0: triviale Reihe

s ∈N: binomische Formel, _k^s

= 0 f¨ur k >s Ableitungen f¨urs ∈/ N0

f^(k)(x) =s(s −1)·(s−k+ 1)(1 +x)^s−k Taylor-Koeffizienten

c_k = f^(k)(0)

k! =

s k

Quotientenkriterium (Konvergenz von P

ka_k, falls limk→∞q_k <1, q_k =|a_k+1/a_k|) mit

q_k = |c_k+1x^k+1|

|c_kx^k| =|x|

s k+ 1

. s k

=|x||s−k| k+ 1 Konvergenz f¨ur |x|<1, denn limk→∞q_k =|x|

2 / 2