(1)Eine Taylor-Reihe f(x

Eine Taylor-Reihe f(x) =

∞

X

k=0

c_k(x−a)^k, c_k = f^(k)(a) k! , kann gliedweise differenziert und integriert werden:

f⁰(x) =

∞

X

k=0

(k+ 1)c_k+1(x−a)^k Z

f(x)dx = c+

∞

X

k=1

ck−1

k (x−a)^k.

Der Konvergenzradius bleibt bei beiden Operationen unver¨andert.

Beispiel

Taylor-Reihe des Arkussinus Binomial-Reihe

(1 +t)^s =

∞

X

k=0

s k

t^k = 1 +st+s(s−1)

2! t²+· · · t =−x²,s =−1/2

√ 1

1−x² =

∞

X

k=0

(−1)^k

−1/2 k

x^2k =

∞

X

k=0

1·3·5· · ·(2k−1) 2·4·6· · ·(2k) x^2k

= 1 +1 2x²+3

8x⁴+ 5

16x⁶+· · · wegen

−1/2 k

= (−1/2)·(−3/2)· · ·(−(2k−1)/2) 1·2· · ·k

2 / 5

d

dx arcsinx = 1

√

1−x², arcsin(0) = 0

=⇒

arcsinx = Z ^∞

X

k=0

(−1)^k

−1/2 k

x^2kdx =

∞

X

k=0

(−1)^k

−1/2 k

x^2k+1 2k+ 1 explizite Form

∞

X

k=0

1·3·5· · ·(2k−1) 2·4·6· · ·(2k)

x^2k+1

2k+ 1 =x+x³ 6 +3x⁵

40 +5x⁷ 112+· · ·

Beispiel

n¨aherungsweise Berechnung des Integrals Z x

0

exp(−t²)dt

gliedweise Integration der Taylor-Reihe exp(−t²) =

∞

X

k=0

(−1)^kt^2k k!

Z x

0

exp(−t²)dt =

"_∞ X

k=0

(−1)^k t^2k+1 k! (2k+ 1)

#x

0

=

∞

X

k=0

(−1)^k x^2k+1 k! (2k+ 1) (Werte an unterer Grenze null)

4 / 5

k=0: 1

k=1: 0.66666666666667 k=2: 0.76666666666667 k=3: 0.74285714285714 k=4: 0.74748677248677 k=5: 0.74672919672920 k=6: 0.74683603433603 k=7: 0.74682280682281 k=8: 0.74682426573971 k=9: 0.74682412070118