H. Stichtenoth WS 2005/06 L¨ osungsvorschlag f¨ ur das 9. ¨ Ubungsblatt
Aufgabe 35:
Die Reihe X
n≥1
1
n
2· 3
nist konvergent nach dem Majorantenkriterium, da P
n≥1 1
3n
=
13P
n≥0 1 3n
konvergent ist (geometrische Reihe mit q =
13) und 1
n
2· 3
n≤ 1
3
nf¨ur alle n ≥ 1.
Die Reihe X
n≥1
√ 1
n + 1 + √
n ist divergent nach dem Grenzwertkriterium, da P
n≥1
√1n
diver- gent ist und
lim
n→∞
√ 1
n+1+√n
√1n
= lim
n→∞
√ n
√ n + 1 + √
n = lim
n→∞
√
1
n+1
√n
+ 1 = lim
n→∞
1 q
n+1 n
+ 1
= 1
2 ∈ (0, ∞ ).
Die Reihe X
n≥1
n
2n
3+ 3 ist konvergent nach dem Grenzwertkriterium, da P
n≥1 1
n2
konvergent ist und
lim
n→∞
n 2n3+3
1 n2
= lim
n→∞
n
2n
3+ 3 · n
21 = lim
n→∞
n
32n
3+ 3 = lim
n→∞
1 2 +
n33= 1
2 ∈ (0, ∞ ).
Die Reihe X
n≥0
3
nn
2+ 3 ist divergent nach dem Quotientenkriterium, da lim
n→∞
3n+1 (n+1)2+3
3n n2+3
= lim
n→∞
3
n· 3
(n + 1)
2+ 3 · n
2+ 3
3
n= lim
n→∞
3 · 1 +
n32 (n+1)2n2
+
n32=
= 3 · lim
n→∞
1 +
n32 n+1n
2+
n32= 3 · lim
n→∞
1 +
n321 +
1n 2+
n32= 3 > 1.
Die Reihe X
n≥0
5
n+1n! ist konvergent nach dem Quotientenkriterium, da lim
n→∞
5n+2 (n+1)!
5n+1 n!
= lim
n→∞
5
n+1· 5
n! · (n + 1) · n!
5
n+1= lim
n→∞
5
n + 1 = 0 < 1.
Die Reihe X
n≥1
3n − 1 2n + 2
nist divergent nach dem Wurzelkriterium, da
lim
n→∞
n
s
3n − 1 2n + 2
n= lim
n→∞
3n − 1 2n + 2 = 3
2 > 1.
1
2
Die Reihe X
n≥1
( − 1)
nn + 1 2n − 1
nist konvergent (sogar absolut konvergent) nach dem Wur- zelkriterium, da
lim
n→∞
n
s
( − 1)
nn + 1 2n − 1
n= lim
n→∞
n
s
n + 1 2n − 1
n= lim
n→∞
n + 1
2n − 1 = 1 2 < 1.
Die Reihe X
n≥1
( − 1)
n2n
n + 1 ist divergent, da die notwendige Bediengung nicht erf¨ullt ist:
lim
n→∞
2n
n + 1 = 2 = ⇒ die Folge
( − 1)
n2n n + 1
n≥1
ist divergent.
Die Reihe X
n≥0
( − 1)
n1
2n
2+ 1 ist konvergent nach dem Leibnitzkriterium, da lim
n→∞
1
2n
2+ 1 = 0 und 1
2(n + 1)
2+ 1 < 1 2n
2+ 1 , d. h.
2n21+1n≥0
