Komplexe Taylor-Reihe

Komplexe Taylor-Reihe

Eine in einem Gebiet D analytische Funktion f l¨ asst sich in jedem Punkt a ∈ D in eine Taylor-Reihe entwickeln:

f (z ) =

∞

X

n=0

f

(a)

n! (z − a)

. Die Reihe konvergiert absolut f¨ ur

|z − a| < r =

n→∞

lim

f

(a)/n!

1/n

.

Der Konvergenzradius r ist gleich dem Abstand des Entwicklungspunktes a

zur n¨ achsten Singularit¨ at von f , d.h. zum Rand des Analytizit¨ atsgebietes.

Beweis:

(i) Konvergenz f¨ ur |z − a| < d = dist(a, ∂D):

C : entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufener Kreis um a mit Radius s < d Cauchys Integralformel

f

(a) = n!

2πi Z

C

f (w ) (w − a)

dw Absch¨ atzung

|f

(a)|

n! ≤ 1

2π (2πs ) c

s

= c s

, c = max

w∈C

|f (w )|

Betrag des n-ten Summanden der Taylor-Reihe ≤ c (|z − a|/s )

majorisierende geometrische Reihe f¨ ur |z − a| < s

s < d beliebig = ⇒

Konvergenz auf der gr¨ oßten in D enthaltenen offenen Kreisscheibe

Taylor-Reihe 2-1

(ii) Konvergenzradius:

absolute Konvergenz f¨ ur |z − a| > d

= ⇒ gr¨ oßeres Analytizit¨ atsgebiet (Potenzreihe definiert eine analytische Funktion)

= ⇒ Widerspruch, d.h. Konvergenzradius d = dist(a, ∂D) ist maximal eindeutige Charakterisierung des Konvergenzradius

= ⇒ Aquivalenz zur Formel aus der Theorie reeller Reihen, d.h. ¨ d = r

Beispiel:

Taylor-Reihe der Funktion

f (z ) = 1

z(z − 1) = 1 z − 1 − 1

z (i) Pol bei 0:

1

z = −1

−a − (z − a) = 1 a

1

1 −

=

geom. Reihe

1 a

∞

X

n=0

(z − a)

(−a)

Konvergenz f¨ ur |z − a| < |a|

(ii) Pol bei 1:

1

z − 1 = −1

1 − a − (z − a) = 1 a − 1

1

1 −

=

geom. Reihe

1 a − 1

∞

X

n=0

(z − a)

(1 − a)

Konvergenz f¨ ur |z − a| < |1 − a|

in beiden F¨ allen: |z − a| kleiner als der Abstand zur Singularit¨ at

Taylor-Reihe 3-1

Taylor-Reihe:

f (z) =

∞

X

n=0

−1

(1 − a)

− −1 (−a)

(z − a)

Konvergenzradius r: Abstand des Entwicklungspunktes a zur n¨ aheren Polstelle z = 0 oder z = 1, d.h.

r = min(|a|, |1 − a|)