Aufgabe 34
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen (a)
∞
X
n=1
(x − 2018)
nn
n(b)
∞
X
n=1
2
nn (4x − 8)
n(c)
∞
X
n=1
(−1)
n4
n(x + 3)
n. Geben Sie auch alle x ∈ R an f¨ ur die die Reihen konvergieren.
L¨ osung.
Vorbemerkung: Gem¨ aß der Definition 9.8 (Kompendium, Seite 105) des Konvergenzradius r der Potenzreihe
X
n
a
nx
nbestimmen wir r mit Hilfe von lim sup
n→∞
p
n|a
n|. Hierf¨ ur ist die Bemerkung 5.31 (Kompendium, Seite 34) hilfreich: (a
n)
n∈Nkonvergiert dann, wenn lim sup
n→∞
a
n= lim
n→∞
a
n= lim inf
n→∞
a
n. (a) Behauptung: Die Potenzreihe
∞
P
n=1
(x−2018)n
nn
hat Konvergenzradius r = ∞ und konvergiert damit f¨ ur alle x ∈ R .
Beweis: Wir setzen a
n:=
n1n. Dann gilt p
n|a
n| =
n1. Also gilt lim
n→∞
p
n|a
n| = 0. Mit der Vorbemerkung gilt daher lim sup
n→∞
p
n|a
n| = 0. Also gilt r = ∞ und die Potenzreihe
∞
P
n=1 yn nn
konvergiert f¨ ur alle y ∈ R. Diese Aussage gilt dann offenbar auch f¨ ur
∞
P
n=1
(x−2018)n nn
. (b) Behauptung: Die Potenzreihe
∞
P
n=1 2n
n
(4x− 8)
nhat Konvergenzradius r =
18und konvergiert nur f¨ ur x ∈ [
158,
178).
Beweis: Wir setzen b
n:=
2nn. Dann gilt p
n|b
n| =
√n2n
→ 2 f¨ ur n → ∞ (da √
nn → 1 f¨ ur n → ∞). Somit hat die Reihe
∞
P
n=1 2n
n
y
nden Konvergenzradius
1lim sup
n→∞
n
√
|bn|
=
12. Mithin konvergiert
∞
P
n=1 2n
n
(4x − 8)
nf¨ ur |4x − 8| <
12⇔ |x − 2| <
18. Also hat
∞
P
n=1 2n
n
(4x − 8)
nden Konvergenzradius
18. Wir haben
|x − 2| <
18⇔ −
18< x − 2 <
18⇔
158< x <
178.
Die Potenzreihe konvergiert somit f¨ ur x ∈ (
158,
178). Ob sie auch an den Endpunkten des Intervalls, also f¨ ur x =
158und x =
178, konvergiert, k¨ onnen wir (gem¨ aß Satz 9.9 (iii)) nicht
¨ uber den Konvergenzradius kl¨ aren. Hierf¨ ur f¨ uhren wir eine Einzelbetrachtung durch:
• F¨ ur x =
158erhalten wir die Potenzreihe
∞
X
n=1
2
nn
15 2 − 8
n=
∞
X
n=1
2
nn
− 1 2
n=
∞
X
n=1
2
nn
(−1)
n2
n=
∞
X
n=1
(−1)
nn .
Dies ist die alternierende harmonische Reihe, die bekanntlich (nach dem Leibnizkriteri- um) konvergiert.
• F¨ ur x =
178erhalten wir die Potenzreihe
∞
X
n=1
2
nn
17 2 − 8
n=
∞
X
n=1
2
nn
1 2
n=
∞
X
n=1
2
nn
1 2
n=
∞
X
n=1
1 n .
Dies ist die harmonische Reihe, die bekanntlich divergiert.
Insgesamt konvergiert
∞
P
n=1 2n
n
(4x − 8)
nnur f¨ ur x ∈ [
158,
178).
(c) Behauptung: Die Potenzreihe P
∞ n=1(−1)n
4n
(x + 3)
nhat Konvergenzradius r = 4 und kon- vergiert nur f¨ ur x ∈ (−7, 1).
Beweis: Wir setzen c
n:=
(−1)4nn. Dann gilt p
n|c
n| =
14→
14f¨ ur n → ∞. Somit hat die Reihe den Konvergenzradius
1lim sup
n→∞
n
√
|cn|
= 4. Die Reihe konvergiert also f¨ ur
|x + 3| < 4 ⇔ −4 < x + 3 < 4 ⇔ −7 < x < 1.
F¨ ur x = −7 und x = 1 sind wieder Einzelbetrachtungen notwendig.
• F¨ ur x = −7 erhalten wir
∞
X
n=1
(−1)
n4
n(−4)
n=
∞
X
n=1
1;
diese Reihe divergiert offenbar.
• F¨ ur x = 1 erhalten wir
∞
X
n=1
(−1)
n4
n4
n=
∞
X
n=1
(−1)
n.
Die Folge (−1)
nist keine Nullfolge. Damit divergiert die Reihe
∞
P
n=1
(−1)
n.
F¨ ur die Endpunkte des Intervalls (−7, 1) divergieren die entsprechenden Reihen also. Wir erhalten damit die Behauptung.
Mit diesen Aufgaben haben wir herausgearbeitet, was das Konvergenzverhalten der Potenzreihe X
n
a
nx
n¨ uber das Konvergenzverhalten der Potenzreihe X
n
a
n(k · x − x
0)
nf¨ ur feste k ∈ R \{0}, x
0∈ R aussagt. Es gilt n¨ amlich: Falls P
n
a
nx
nden Konvergenzradius r hat, so hat P
n
