Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrizen

Universit¨at Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik DK Huynh

Repetitorium Lineare Algebra Blatt 3 Aufgabe 11

Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrizen

𝐴 =

⎛

⎝

1 4 5 0 2 6 0 0 3

⎞

⎠ , 𝐵 =

⎛

⎜

⎜

⎝

1 2 3 4 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3

⎞

⎟

⎟

⎠

, 𝐶 =

⎛

⎜

⎜

⎝

1 2 3 4 0 1 2 3 1 2 3 0 0 1 2 3

⎞

⎟

⎟

⎠ .

Aufgabe 12

Es sei 𝑉 = 𝔽

der dreidimensionale Standardvektorraum ¨uber dem endlichen K¨orper 𝔽

. Eine lineare Abbildung

𝜑 : 𝑉 → 𝑉 ist gegeben durch

𝜑((1, 0, 0)) = (1, 1, 1), 𝜑((0, 1, 0)) = (0, 1, 1), 𝜑((0, 0, 1)) = (1, 0, 0).

(i) Geben Sie Basen von Kern(𝜑) und Im(𝜑) an. Verifizieren Sie die Dimensions- formel

dim ker 𝜑 + dim Im𝜑 = dim V.

(ii) Berechnen Sie die Verkettung 𝜓 = 𝜑

= 𝜑 ∘ 𝜑. Welche Dimension haben Kern und Bild von 𝜓? Wie sieht 𝜑

aus?

Aufgabe 13

Die Menge {(1, 3), (2, 1), (4, 7)} ⊂ ℝ

bildet ein Erzeugendensystem des ℝ

. (i) Finden Sie eine lineare Abbildung 𝜑 : ℝ

→ ℝ

mit

𝜑((1, 3)) = (−2, −1), 𝜑((2, 1)) = (−6, −3), 𝜑((4, 7)) = (−10, −5).

indem Sie 𝜑((𝑥, 𝑦)) f¨ur ein beliebiges (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ

angeben.

(ii) Bestimmen Sie Bild und Kern von 𝜑, indem Sie f¨ur beide Unterr¨aume Basen angeben. Was ist ker 𝜑 ∩ Im𝜑?

Aufgabe 14 Gegeben seien

𝐴 =

( 1 1 0 1

)

und 𝐵 =

⎛

⎝

1 1 0 0 1 1 0 0 1

⎞

⎠ .

Finden Sie jeweils Formeln f¨ur 𝐴

und 𝐵

, 𝑛 ∈ ℕ , und beweisen Sie sie mittels

vollst¨andiger Induktion.