M. Felsinger / M. Rang Fakult¨at f¨ur Mathematik
Sommersemester 2012 Universität Bielefeld
Probeklausur zu Mathematik f¨ur Biologen und Biotechnologen 5. Juli 2012
Hinweis: Die vorliegende Probeklausur soll Ihnen einen Einblick in Art und Umfang der kommenden Klausur geben. Sie liefert weder R¨uckschl¨usse auf die genaue Zahl von
Aufgaben noch auf die in der Klausur behandelten Themen. Wie in der Klausur sind 120 min Bearbeitungszeit f¨ur diese Probeklausur vorgesehen.
Aufgaben:
1. Gegeben sind die folgenden Mengen:
M1 ={x∈R| |x−3|<2}
M2 = [0,10)
M3 ={2,4,6,8,10}
Bestimmen Sie M1∩M3,M1∩M2 und (M1∪M2)∩M3.
2. Bestimmen Sie die L¨osungsmenge des folgenden Gleichungssystems in Abh¨angigkeit von r∈R.
2x+ 2y+ 2z=r+ 2 4x−3y+ 2z= 0
x+y+ 3z= 2r+ 6
3. In einem jungen Wald nimmt die Holzmenge (in Raummeter) n¨aherungsweise expo- nentiell zu. Die j¨ahrliche Wachstumsrate betrage vier Prozent.
a) Bestimmen Sie die prozentuale Zunahme der Holzmenge in den ersten f¨unf Jah- ren.
b) Wie viele Jahre vergehen, bis die Holzmenge doppelt so groß ist wie zu Beginn?
4. Die Anzahl an Mikroben in einer Population nachtTagen werde durch die Funktion m(t) beschrieben. F¨ur deren Wachstum gelte
m0(t) = 5te3t.
Wir nehmen an, dass die Anzahl an Mikroben zum Zeitpunktt= 0 durch m(0) = 10 gegeben ist. Geben Sie die Funktion m(t) konkret an. Wie viele Mikroben gibt es nach genau drei Tagen?
5. Berechnen Sie die folgenden Ausdr¨ucke und geben Sie auch Zwischenschritte an.
a)
2
Z
1
(x+ 1)·ln(x)dx b)
2
Z
1
4x2 (3x3+ 2)2 dx c) lim
n→∞
2n+1−3
2n+1 d)
3
X
i=1 3
X
j=i
i2·j2
6. Im Folgenden wird die Wanderung eines Phosphormolek¨uls innerhalb eines mikro-
¨okologischen Systems (Viehweide) betrachtet. Vereinfacht nehmen wir an, dass ein Phosphormolek¨ul durch folgende Zust¨ande auf einer Viehweide wandern kann: Erd- boden (E), Gras (G) und Vieh (V). Die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Phosphormo- lek¨ul (von einem Tag zum n¨achsten) von einem bestimmten Zustand in einen anderen Zustand wechselt, sind folgender Grafik zu entnehmen:
E
V
0.5 G 0.3
0.8
0.2 0.5
0.1
0.6
Zum Beispiel verbleibt ein heute im Erdboden befindliches Phosphormolek¨ul auch am n¨achsten Tag im Erdboden mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 (= 50%).
a) Stellen Sie zu der obigen Grafik eine geeignete ¨UbergangsmatrixP = (pij)1≤i,j≤3
auf. Dabei soll der Eintragpij die Wahrscheinlichkeit angeben, mit der ein Phos- phormolek¨ul ausgehend vom Zustand j, in den Zustand i wechselt. Hierbei sei E der erste, G der zweite und V der dritte Zustand.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Phosphormolek¨ul nach zwei Tagen im Zustand V ist, wenn es gerade im Zustand E ist.
7. Alfred Biochef m¨ochte seine Ziegenherde mit einem 100 m langen Zaun auf einer rechteckigen Fl¨ache umz¨aunen. Wie m¨ussen die Seitenl¨angen des Rechtecks gew¨ahlt werden, um den gr¨oßtm¨oglichen Fl¨acheninhalt zu erzielen?
Informationen zur Klausur:
• 1. Termin: Dienstag, 24.07.2012 (9:00-12:00) in H4;
2. Termin: Dienstag, 02.10.2012 (9:00-12:00) in H7 und H12.
• Bearbeitungszeit 120 min.
• Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner (nichtprogrammierbar undnichtgrafikf¨ahig), 1 DIN A4 Formelblatt (handschriftlich, beidseitig beschreibbar), Schreibmate- rialien. Bl¨atter werden bereitgestellt.
• Bringen Sie bitte Ihren Studenten-undPersonalausweis (oder Reisepass, F¨uhrer- schein,. . .) zur Klausur mit.
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