Stochastik Prof. Dr. I. Veseli´c
Hausaufgabe 4
Abgabe bis 10. Mai 13:00 Uhr
Aufgabe 1. Eine Urne enth¨alt zur Zeit n= 0 je eine rote und eine schwarze Kugel. Vor jedem Zeitpunkt n= 1,2,3, . . . wird eine zuf¨allig ausgew¨ahlte Kugel entnommen, und zusammen mit einer neuen Kugel derselben Farbe in die Urne zur¨uckgelegt. SeiRndie Anzahl der roten Kugeln zur Zeit n. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten
pn,r := P(Rn=r) (n≥0, 1≤r≤n+ 1 ) a) f¨urn= 1,2 und 3, b) allgemein.
Aufgabe 2. Zeigen Sie, daß die Poissonverteilung Pλ(k) = e−λλk/k! der Rekurrenzbedingung Pλ(k) = λ
kPλ(k−1)
gen¨ugt. Bestimmen Sie f¨ur gegebenesλdie Werte vonk, f¨ur diePλ(k) sein Maximum annimmt.
Aufgabe 3. F¨ur i ∈N sei Ωi abz¨ahlbar und Ω = Q
i∈NΩi. Sei Xi: Ω → Ωi, Xi: (ω) = ωi die Projektion auf diei-te Koordinate. Sei
G :=
n
Z(a1, . . . , an)|n≥1, ai ∈Ωi
o
∪ {∅}, Z(a1, . . . , an) :={ω∈Ω|X1 =a1, . . . , Xn=an}.
Zeigen Sie, dassG ist durchschnittsstabil ist und die Produkt-σ-Algebra N
i∈NP(Ωi) erzeugt.
Aufgabe 4. SeienA1, A2, . . . , Anunabh¨angige Ereignisse mitP(Ai) =p,i= 1,2, . . . , n. Berech- nen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
(a) mindestens eines der Ereignisse eintritt,
(b) mindestens m der Ereignisse eintreten (m≤n), (c) genaum der Ereignisse eintreten.
Viel Erfolg!
