Kreis und Kugel

W i l h e l m B l a s c h k e

Kreis und Kugel

2., d u r c h g e s e h e n e u n d v e r b e s s e r t e A u f l a g e

W A L T E R D E G R U Y T E R & CO.

vormale G. J. G ö e c h e n ' i c h e V e r l a g s h a n d l u n g / J . G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g G e o r g R e i m e r / K a r l J . T r ü b n e r / Veit & C o m p .

B E R L I N 1 9 5 6

Mit 27 Figuren

Copyright 1956 by Walter de Gruyter & C o . , vormals G. J . Göschen* s che Verlagsliandlung, J , Guttentag, ©

Verlagsbuchhandlung, Georg Reimer, Karl J . Trübner, Veit & Comp.« Berlin W 3 5 . — Alle Rechte, auch die dee auszugsweisen Nachdrucks, der photomechaniechen Wiedergabe, der Herstellung von Mikrofilmen

und der Übersetzung, vorbehalten — Archiv-Nr. 6 9 5 0 5 6 — Printed in Germany

V o r w o r t

Es sind jetzt 40 Jahre verflossen, seit im ersten Weltkrieg dieses Lehrbuch ,,Kreis und Kugel" zuerst erschienen ist. in dem die Kleinst- eigenschaften beider Figuren in elementarer Weise behandelt werden und darüber hinaus Eigenschaften konvexer Körper. Es scheint, daß dieses Buch von mir auf jüngere Geometer anregend gewirkt hat, denn manche neuere Untersuchung dieses alten Fragenkreises, der auf A R C H I - MEDES zurückgeht, hat daran angeknüpft. An solchen neueren Schriften nenne ich zunächst: T . B O N N E S E N und W. F E N C H E L , Theorie der kon- vexen Körper, Ergebnisse der Mathematik. Berlin, Springer 1934;

L . F E J E S T Ô T H , Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und im Raum, Springer-Verlag 1953; A . D. ALEXANDROW, Die innere Geometrie der kon- vexen Flächen. Akademie-Verlag Berlin 1955, und insbesondere H. HAD-

WIGER. Altes und Neues über konvexe Körper, Birkhäuser Verlag Basel und Stuttgart 1955. Es ist in diesen letzten Jahrzehnten viel Neues auf diesem Felde gefunden worden. Trotzdem habe ich bei der Neugestaltung meines alten Buches im wesentlichen die frühere Form beibehalten, da es auf einfache Art in die Gedanken einführt, die von den alten Griechen ausgehend in Deutschland besonders durch J . S T E I N E R , H. A. SCHWARZ, H . B R U N N und H . MINKOWSKI gefördert worden sind. Doch habe ich die spätere Entwicklung durch Hinweise auf seit 1916 erschienene Schriften berücksichtigt.

Es handelt sich also hier in erster Linie um die ,,isoperimetrischen Haupteigenschaften' ' von Kreis und Kugel, nämlich bei gegebenem Inhalt kleinsten Umfang und kleinstes Oberflächenmaß zu besitzen. Bei den Beweisen wird insbesondere an Verfahren von S T E I N E R und B R U N N an- geknüpft, die den Vorzug großer Anschaulichkeit haben. Naturgemäß schließen sich daran Betrachtungen, die allgemein für „konvexe Körper"

gültig bleiben, also für solche Punktmengen im Raum, die mit zweien ihrer Punkte immer auch deren geradlinige Verbindungsstrecke mitent- halten.

Ich gedenke heute wieder meines verstorbenen Freundes und Kol- legen G. HERGLOTZ, dem ich auch beim Entstehen dieser Schrift viel zu danken habe.

Winter 1955/56

Wilhelm Blaschkc

I n h a l t

E r s t e r T e i l

Die Minimumeigenschaft des Kreises

Seite

§ ^{1 .} Das Viergelenkverfahren von S T E I N E R 1

§ 2. Die Existenzfrage 3

§ 3. Flächeninhalt von Vielecken 5

§ 4. Anwendung des Viergelenkverfahrens auf Vielecke 7

§ δ. Existenzbeweis für Vielecke 9

§ 6. Gleichseitige Vielecke und trigonometrische Ausdrücke 13

§ 7. Bogenlänge einer Kurve 20

§ 8. Annäherung einer Kurve durch Vielecke 23

§ 9. Funktionen beschränkter Schwankung 26

§ 10. Flächeninhalt einer geschlossenen Kurve · . . 23

§ 11. Lösung der isoperimetrischen Aufgabe in der Ebene 30

§ 12. Anwendungen 32

§ 13. Über den Integralbegriff . . .· 34

§ 14. Geschichtliches, Literatur 38 Z w e i t e r T e i l

Die Minimumeigenschaft der Kugel

§ 15. Ein Beweisansatz S T E I N E R S .

I. Problemstellung 43

II. S T E I N E R S Symmetrisierung 44

III. Kritik an S T E I N E R S Beweis 46

§ 16. Konvexe Körper und konvexe Funktionen

I. Konvexe Funktionen zweier Veränderlicher 47 II. Festlegung eines konvexen Körpers durch Ungleichheiten . 49

III. Konvexe Funktionen einer Veränderlichen 51

IV. Stützgeraden, Stützebenen 53 V. Konvexe Hülle einer Punktmenge. Konvexe Vielflache . 54

VI. Die Stützfunktion 55

§ 17. Rauminhalt und Oberfläche

I. Rauminhalt und Oberfläche bei Vielflachen 56

Ii. Annäherung durch Vielflache 56

VI Inhalt

Seite

III. Erklärung von Rauminhalt und Oberfläche bei beliebigen

konvexen Körpern 58 IV. Konvergente Folgen konvexer Körper 59

V. Stetigkeitseigenschaft von Inhalt und Oberfläche . . . 61

§ 1 8 . Eine Erweiterung des Satzes von B O L Z A N O und W E I E R S T R A S S über die Existenz eines Häufungspunktes

I. Der Auswahlsatz f ü r konvexe Körper 62 II. Das Diagonalverfahren von C A N T O R 6 3

III. Konvergenz der ausgewählten Folge 64 IV. Übereinstimmung mit der früheren Erklärung der Kon-

vergenz 65 V. Eine zweite Fassung des Konvergenzbegriffs 66

§ 19. Die Symmetrisierung von S T E I N E R

I. Symmetrisierung konvergenter Körperfolgen 68 II. Wirkung auf Inhalt und Oberfläche 70 III. Symmetrisierung der Näherungsvielflache 71

I V . A n w e n d u n g eines Mittelwertsatzes von H O L D E R . . 7 3

V. Einführung der gefundenen Abschätzung 74 VI. Die Ungleichheit von H . A . S C H W A R Z 75 VII. Verkleinerung der Oberfläche 76 VIII. Die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel 78

§ 20. Ergänzende Bemerkungen

I. Über die Beschränkung auf konvexe Vergleichskörper . . 79

II. Über die Existenz eines Doppelintegrals 82 III. Die Begriffe „konvexer Körper" und „konvexe Funktion" 83

D r i t t e r T e i l

Ergebnisse über konvexe Körper von S c h w a r z , B r u n n und M i n k o w s k i

§ 21. Eine Konstruktion von S C H W A R Z und ein Satz von B R Ü N N

I. Konstruktion von H . A. S C H W A R Z 86

II. Konvergenzbeweis 87 III. Über den Schwerpunkt 89

IV. Ein Satz von H . B R Ü N N 90

V. Ein Satz von H . A. S C H W A R Z 92

§ 22. Sätze von B R U N N und M I N K O W S K I

I. Lineare Scharen und konvexe Scharen konvexer Körper . 92

II. Symmetrisierung konvexer Scharen 95 III. Beweis des Satzes von B R U N N über die Rauminhalte der

Körper einer linearen Schar 96

Inhalt VII

S e i t e

IV. Symmetrisierung linearer Scharen 98 V. MINKOWSKI s Ergänzung zum Satze von BRUNN . . . . 100

VI. Ungleichheiten von MINKOWSKI 101 VII. Uber einen zweiten Beweis f ü r M1 — 4 π O S O · · · 103

§ 2 3 . Ergänzungen

I. Literatur 104 II. Ein Lemma von WIRTINOER 105

III. Anwendung 106 IV. Übertragung von WIRTINGERS Lemma auf die Kugel . . 108

V. Formel von MINKOWSKI für die Oberfläche 109

VI. Konvexe Funktionale 111

V i e r t e r T e i l

Neue Aufgaben über Extreme bei konvexen Körpern

§ 24. Bestimmung der größten Kugel, die in einer konvexen Fläche un- behindert rollen kann.

I. Über Differentialgeometrie im großen 113 II. Kleinster und größter Krümmungskrcis einer konvexen

Kurve 114 III. Ein duales Analogen der Formel von ECLER über die

Flächenkrümmung 117 IV. Lösung der räumlichen Frage 118

§ 25. Krümmungsbeschränkungen bei konvexen Flächen.

I. Problemstellung und Zurückführung auf Drehflächen . . 119

II. Anwendung der Konstruktion von SCHWARZ 120

III. Invarianz des Durchmessers 121 IV. Ein Satz von BIEBERBACH 122

V. Verhalten des Krümmungsmaßes bei der Symmetrisierung 123 VI. Verhalten des Kriimmungsmaßes beim G-renzübergang . 126

VII. Vorbereitungen zum Beweise für Drehflächen 129 VIII. Spindelförmige Drehflächen konstanten Krümmungsmaßes 130

IX. Ergebnisse 133 X. Ein Satz von 0 . BONNET 134

§ 26. Andere Kriimmungsbeschränkungen

I. Problemstellung und Zurückführung auf Drehflächen . . 136

II. Die Versteifung 137 III. Differentialgeometrie der Stützfunktion 138

IV. Verhalten des Krümmungsmaßes bei der Versteifung . . 141 V. Käseförmige Drehflächen konstanten Krümmungsmaßes . 142 VI. Verhalten der mittleren Krümmung beim Versteifen . . 144

viir Inhalt

A n h a n g

Ausblick auf weitere Untersuchungen über konvexe Körper Seite

I. Flächeninhalte der Normalrisse 147 II. Umfange der Normalriase 148

III. MINKOWSKIS Körper konstanter Breite 150

IV. Körper konstanter Helligkeit 151 V. Integraldarstellung konvexer Körper mit Mittelpunkt . . 154

VI. Formeln für Mittelpunkteiflächen 155 VII. Kennzeichnung des Ellipsoids 157 VIII. Mindestzahl der Scheitel einer Eilinie 160

IX. Weitere Literatur zur Differentialgeometrie der Eiflächen 162

Sachverzeichnis Namenverzeichnis 165

Erster Teil.

Die Minimumeigenschaft des Kreises.

§1. Das Viergelenkverfahren von Steiner.

S T E I N E R hat (wohl im Zusammenhang mit Untersuchungen von

S . L H U I L I E R . Warschau 1 7 8 2 ) eine einfache geometrische Konstruktion angegeben¹, die ermöglicht, zu jeder geschlossenen und nicht kreisförmi- gen ebenen Kurve Κ eine neue Kurve K* aufzusuchen, die wieder eben und geschlossen ist, ferner gleichen Umfang, aber größeren Flächeninhalt hat wie K. Aus der Möglichkeit dieser Konstruktion ergibt sich sofort, daß Κ keine Lösung der „isoperimetrischen" Aufgabe sein kann, nämlich unter allen geschlossenen ebenen Kurven den größt- möglichen Flächeninhalt zu

umgrenzen. Keine andere Kurve als der Kreis kann also diese Eigenschaft haben.

Die angekündigte Kon- struktion S T E I N E R S , die wir das „Viergelenkverfahren"

nennen 'wollen, geht folgen- dermaßen vor sich. Auf Κ wählen wir zwei Punkte A und Β, die den Umfang von Κ hälften, das heißt so, daß die beiden Teilbogen K^x und

K^t, in die Κ durch A und Β ^{F î g χ} zerlegt wird, gleiche Bogen-

länge haben (Fig. 1). Die Bezeichnung sei etwa so gewählt, daß die Flächeninhalte Fl und F2, die die Bogen Ä'j und K2 mit der Strecke A ß abgrenzen, in der Beziehung stehen t \ Sr Fv Wir löschen nun den Bogen K^ und setzen an seine Stelle den Bogen K2', der aus ^ durch Spiegelung an der Geraden Α Β hervorgeht. Die aus Κχ und Κ ζ

1 Gesammelte Werke, It. Bd., S. 193 u. f.

BLASCHKK, Kreiß und Kugel. 1

2 Minimumeigenschaft des Kreises

zusammengesetzte geschlossene Kurve K' ist symmetrisch zur Achse A B und hat offenkundig gleichen Umfang mit K. Zwischen den Flächeninhalten

F=í\ +F2 und F' =2 Fl

von Κ und K' besteht die Beziehung F^F'.

Damit sind wir noch nicht zu Ende, da möglicherweise das Gleichheitszeichen gelten kann. Fügen wir zunächst eine Bemerkung hinzu: Κ war nach Voraussetzung kein Kreis. Wir können daher die Teilungspunkte A und Β sicher so wählen, daß keiner der Teil- bogen Z j und K^t ein Halbkreis wird. Dann ist aber auch K ' kein Kreis.

Wir können also auf der symmetrischen Kurve K' einen von A und Β verschiedenen Punkt C so wählen, daß der Winkel γ des Dreiecks ABC bei C kein rechter ist. I) sei das Spiegelbild von C bezüglich der Geraden Α Β. Schneidet man nun die Fläche des Vierecks ACBB aus der von Κ umgrenzten Fläche heraus, so

Fig. 2.

bleiben vier „Monde" übrig, die in der beigegebenen Fig. 2 schraffiert sind. Diese Monde denken wir uns starr aus Pappe gefertigt und miteinander in den Ecken ACBB durch Ösen gelenkig verbunden.

Damit ist ein „Viergelenk" entstanden, das außen krummlinig von K ' und innen geradlinig von den Viereckseiten begrenzt ist.

Dieses Viergelenk bewegen wir nun nach A* C* Β* B* so, daß die Winkel des neuentstandenen Vierecks bei C* und D* rechte Winkel werden. Die symmetrische Kurve K*, die die neue Lage

Existenzfrage 3 unseres Viergelenks umschließt, leistet das Gewünschte. Der Um- fang von K* setzt sich nämlich aus vier Teilbogen zusammen, die den entsprechenden Bogen auf K' kongruent sind. K* hat also gleichen Umfang mit K' und K. Der Unterschied der Flächen- inhalte F' und F* von K' und K* ist, da die Monde ungeändert ge- blieben sind, gleich dem Unterschied der Vierecksflächen Φ und Φ*

von ACBB uDd A*C*B*D*.

F* — F = Φ* — Φ .

Sind nun a und b die den Ecken A und Β des Dreiecks ABC gegenüberliegenden Seiten und γ der Winkel bei C, so haben wir

Φ* — Φ = ab (1 — sin γ) > 0 . Es ist also F* > F und somit

F* > F,

d. h. die Fläche von K* ist tatsächlich größer als die von K.

§ 2. Die Existenzfrage

Ist durch die vorgetragene Schlußweise ^STEINERS, wenn wir uns die darin verwendeten Begriffe wie „geschlossene ebene Kurve",

„Bogenlänge" und „Flächeninhalt" genau umgrenzt denken — worauf wir bald zurückkommen — wirklich der Nachweis für die isoperi- metrische Eigenschaft des Kreises erbracht? Wiederholen wir, es wurde gezeigt: Ist Κ eine geschlossene ebene Kurve, aber kein Kreis, so kann man durch das Viergelenkverfahren dazu immer eine neue geschlossene ebene Kurve K* konstruieren, die gleichen Umfang und größeren Flächeninhalt besitzt. Κ kann also keine Lösung des iso-

perimetrischen Problems sein.

Wenn es also unter allen geschlossenen ebenen Kurven gegebenen Umfang s eine gibt, deren Flächeninhalt ΞΞ: dem Flächeninhalt jeder anderen ist, so kann sie nur ein Kreis sein.

Die Voraussetzung aber, daß eine solche Lösung unserer Auf- gabe wirklich existiert, wird man zunächst als selbstverständlich er- füllt ansehen. Bei tieferem Eindringen jedoch zeigt sich, daß gerade in diesem Punkte eine Hauptschwierigkeit verborgen ist.

Vom Flächeninhalt F einer geschlossenen ebenen Kurve Κ von gegebenem Umfang L kann man leicht einsehen, daß er unter einer endlichen Schranke liegen muß, ζ. B. kann man, wie wir hier nicht näher ausführen wollen, da wir später (§ 5) darauf zurückkommen, die Ungleichung

F< IS

1 *

4 Minimumeigenschaft des Kreises

herleiten. Die Menge aller Zahlen F, das ist die Menge der Flächen- inhalte aller Kurven mit dem Umfang L, ist also, wie man kurz sagt,

„beschränkt". Manche Mathematiker sagen auch „geschränkt", um nicht zu Kränkungen Anlaß zu geben. Jede Zahl, die größer ist als alle F, z. B. Z², nennt man eine „Schranke". Die Stetigkeit der reellen Zahlenreihe äußert sich, wie der Theologe B . BOLZANO schon 1817 erkannt hat1, darin, daß es unter diesen Schranken eine kleinste gibt, die man die obere Grenze der Menge aller Zahlen F nennt.

Nehmen wir z. B. die Menge aller Zahlen f > i> $>···>

so hat diese die Eins als obere Grenze. An diesem Beispiel sieht man schon, daß die obere Grenze nicht der Menge selbst angehören muß, daß es also in einer beschränkten unendlichen Menge nicht notwendig eine größte Zahl gibt.

Wir haben somit zu zeigen, daß es in der Menge aller Zahlen F eine größte Zahl F0 gibt, dann erst wird durch das Viergelenkverfahren die Maximumeigenschaft des Kreises völlig bewiesen sein.

Die Stellungnahme STEINER s zur Existenzfrage geht aus seinen Schriften nicht klar hervor. GEISEE erzählt in seiner sehr lesens- werten Gedächtnisrede² auf STEINER, der ein etwas schrullenhafter Sonderling gewesen sein muß, daß DIRICHLET ohne Erfolg den Ver- such gemacht habe, STEINER von der Lückenhaftigkeit seiner Schluß- weise zu überzeugen. Immerhin hat aber STEINER manchmal gewisse Bedenken gehabt, während er nämlich meistens die Existenz als selbst- verständlich ansieht, schreibt er an einer Stelle: „ . . . und zwar läßt sich der Beweis sehr kurz führen, wenn man voraussetzt, daß es eine, größte Figur geben müsse".³

Später hat man die Schwierigkeiten, die sich einem Existenz- beweis entgegenstellen, für unüberwindlich gehalten und erst W E I E R - STRASS hat in Vorlesungen, die er in den siebziger Jahren des ver- gangenen Jahrhunderts an der Berliner Universität abgehalten hat, die allgemeinen von ihm in die Variationsrechnung eingeführten Hilfsmittel auch dazu verwendet, um die Maximumeigenschaft des Kreises streng zu begründen.

1 „Rein analytischer B e w e i s , daß zwischen je zwei Werten, die ein ent- gegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege" (S. 41 fi.). W e g e n der Lehre von den reellen Zahlen sei etwa verwiesen auf: 0 . HOLDER, Die Arithmetik in strenger Begründung, Leipzig 1914.

2 C. P . GEISER: Zur Erinnerung an J . STEINER, Zürich 1874.

3 Gesammelte Werke I I , S. 197. Anmerkung.

§3. Vieleeksfläoke. 5 Hier soll nun der Nachweis auf dem Wege erbracht werden, daß wir an Stelle beliebiger geschlossener Kurven zuerst Vielecke ins Auge fassen und dann hinterher die krummen Linien durch Vielecke annähern. Dieser Beweisgang, nämlich die Vorwegnahme der isoperimetrischen Eigenschaften der Vielecke, ist schon dem ältesten Werke eigentümlich, das sich mit diesen Fragen beschäftigt, nämlich dem Buche des Griechen ZENODOB, περι ίσοπεριμέτρων σχημάτων, das vielleicht um 150 ν. Chr. erschienen ist.

Es gelingt so allein mit dem Viergelenkverfahren STEINEKS

ohne Variationsrechnung und ohne höhere analytische Hilfsmittel zu Ende zu kommen. Zum Existenzbeweis bei Vielecken genügt nämlich der Existenzsatz von WEIERSTRASS über stetige Funktionen, den wir in unserem Sonderfall ausführlich begründen (§ 5). Hinterher zeigen wir noch, wie man auch dieses Hilfsmittel entbehren und den Existenzbeweis für Vielecke auf rein elementarer Grundlage erbringen kann (§ 6).

§ 3. Flächeninhalt von Vielecken.

Nehmen wir in unserer Ebene ein rechtwinkliges Koordinaten- system an. 0 sei der Koordinatenanfang, Tv T2 seien zwei Punkte1

mit den Koordinaten xx, yl ; x2, yv Der Flächeninhalt des Drei- ecks ΟΤΎΤ2 sei durch die Formel definiert

Dieser Ausdruck bleibt nämlich, wie man sofort nachrechnet, bei einer Drehung des Koordinatensystems

Ι χ = χ* cos φ — y* sin φ , I y = χ* sin φ + y* cos φ

1 Unter einem „Punkt" ist hier stets ein reeller und „eigentlicher" (das heißt im Endliehen liegender) Punkt des Euklidischen Raumes zu verstehen. Die Ein- führung von Fernpunkten und imaginären Elementen bietet hier keinen Vorteil.

6 Minimumeigensehaft des Kreises ungeändert „ * * .

*i9% ~ Vi xi = xi fr -!/2 V

und in der besonderen Lage, wenn etwa 1\ auf die x-Achse fällt (z/j = 0), erkennt man die geometrische Bedeutung des Ausdrucks.

Der so erklärte Flächeninhalt hat positives Zeichen, wenn die Eck- punkte OT¡T² im positiven Umlaufsinn aufeinanderfolgen (Fig. 3 a) und bei negativem Umlaufsinn negatives Zeichen (Fig. 3 b).

Nehmen wir nun endlich viele Punkte Tv 1\... Tn + i mit den Koordinaten xv y1~, x²,y²; .. .x^{n +} i, y„ ⁺ i· Unter dem Flächeninhalte des Vielecks mit den Ecken 0 Ί\ T2 . . . Tn + X verstehen wir die Summe der Dreiecksflächen:

Fläche [Ο T^x T2...Tn + 1\ = Fläche \0 T^%) + Fläche j O T²T3} + . . . + Fläche {OTnTn+ij = +1 - y* **+1}·

k = L

Nehmen wir nun insbesondere an, T^{n + l} falle mit T^l zusammen (x^{n +} ! = a.·,, y^{n +}1 = í/J. Dann ist dieser Flächeninhalt von der Wahl des Koordinatenanfangs O unabhängig. Denn setzen wir

„ , - yt = yC+*¡>

so finden wir

η η 2 Κ y»+1 - y***+il = 2 \1 1 x*y* * ι - y*x*+4

+ 1 ± 1 - y ; \ - v ± -1 1 und die beiden letzten Summen verschwinden wegen des Zusammen- fallens von Tn + χ und Ty Wir wollen diesen Ausdruck daher als Flächeninhalt des geschlossenen Vielecks mit den Ecken 1\ T2.. ,Tn er- klären. In Zeichen :

( Fläche [0 f j 1\ ... Tm 7j| = Fläche \1\ T2... Tn Ί\\

( 1 ) ι «

I ι}·

Unter einem Vieleck ist dabei eine endliche Anzahl η von Punkten Tlt T2,.. Tn, Tn + ! = 7\ zu verstehen, die nicht notwendig verschieden zu sein brauchen, die aber in zyklischer .Reihenfolge angeordnet sind.

Fügen wir die beiden betrachteten Änderungen des Koordi- natensystems, die Drehung und die Schiebung zusammen, so sehen wir, daß bei jeder gleichsinnigen Änderung der Koordinaten

Ι ι = / cos φ — y* sin φ + ξ,

^ I y = χ* sin φ + y* cos φ + r¡

der Ausdruck für den Flächeninhalt ungeändert oder invariant bleibt.

§4 Viergelenkverfahren bei Vielecken Ί Man kann die Formeln (2) aber auch anders deuten, nämlich bei festgehaltenem Koordinatenkreuz als eine Bewegung

TiT2 . . . Tn -—>- T*T* . . . T*

unseres Vielecks. Dann sehen wir: Zwei gleichsinnig kongruente Vielecke haben gleichen Flächeninhalt. Ändert man etwa das Vor- zeichen einer Koordinate, so sieht man ebenso: Zwei gegensinnig kongruente Vielecke, insbesondere zwei spiegelbildliche Vielecke haben entgegengesetzt gleiche Flächen.

Eine andere Folgerung aus unserer Formel für den Flächen- inhalt wäre diese: Ändert man den Umlaufsinn eines Vielecks, so ändert der Flächeninhalt sein Zeichen·.

Fläche jf, T2 . . . ΤηΤλ| + Fläche »7; Tn . . . T2 1\\ = 0, während eine Abänderung der Ecken, die ihre

zyklische Reihenfolge aufrecht erhält, ohne Be- deutung ist:

Fläche \Τλ T2...Tn J - Fläche {T2 T3... 1\ 1\\ = 0.

Haben zwei Vielecke eine Aufeinanderfolge von Ecken in verkehrter Reihenfolge gemeinsam, so addieren sich ihre Flächeninhalte, wie sich aus unserer Formel (1) ergibt, in einfacher Weise.

So ist ζ. B. (vgl. die Fig. 4): F iS· 4"

Fläche ¡7; T² T³ T, T¿ + Fläche {Γ, TJ³TJ^X\ = Fläche [TJ^TJ,].

Diese additive Eigenschaft des Flächeninhalts, die die Zweckmäßig- keit der Festsetzungen über die Vorzeichen ins rechte Licht rückt, wird beim Viergelenkverfahren eine wesentliche Rolle spielen.

Während der Flächeninhalt nach unserer Erklärung positiver und negativer Werte fähig ist, wollen wir den Umfang eines Viel- ecks stets positiv annehmen:

Umfang [T^ . . . 1\ T,\ = ± ι

worin die Seitenlängen alle positiv in Rechnung zu ziehen sind.

§ 4. Anwendung des Viergelenkverfahrens auf Vielecke Wir stellen uns nun die folgende Aufgabe: Ein gleichseitiges Vieleck V mit vorgeschriebener gerader Eckenzahl η \n = 6, 8, 10 . . .) und gegebenem Umfang Λ soll so bestimmt werden, daß sein Flächen- inhalt ein Maximum wird.

8 Minimumeigenschaft .des Kreises

Ein gleichseitiges Vieleck soll regelmäßig genannt werden, wenn seine Ecken auf einem Kreise liegen und bei einmaligem Umlaut des Kreises alle gerade einmal der Reihe nach durchlaufen werden.

Dann können wir mit dem schon in § 1 angewandten Verfahren zeigen: Nur ein regelmäßiges (im positiven Sinn umlaufenes) Tieleck kann die Lösung unserer Aufgabe sein.

Die Fläche jedes anderen gleichseitigen 1 «-Ecks können wir nämlich bei Aufrecht-

erhaltung der Seitenlängen vergrößern mittels des Viergelenkverfahrens. Nehmen wir, um ein bestimmtes Beispiel vor Augen zu haben, j- " etwa η = 6 (Fig. 5). Denken wir uns die Ecken

Fig 5 so nummeriert — es ist uns ja nur der Um- laufsinn vorgeschrieben und es steht uns noch frei, welche Ecke wir mit Tx bezeichnen wollen —, daß etwa die Beziehung gilt:

Fläche \Τ^χ T² T³ T^t T^x\ Fläche {T^t T^h T⁶1\ T^t}.

Unser gleichseitiges Sechseck V ersetzen wir nun durch ein neues V, das zur Verbindungsgeraden Τχ T4 symmetrisch liegt. Seine Ecken seien Tx T2 T3 T4 T6' T¿, wo 75' und T¿ zu T3 und T2 sym- metrisch liegen. (In dem besonderen Falle, daß Τχ und Tt zu- sammenfallen, kann man irgendeine Gerade durch diesen Punkt als Verbindungslinie ansehen und zur Symmetrieachse von Γ ' wählen.) Beachtet man nun, daß bei Spiegelung und ebenso bei Ände- rung des Umlaufsinns sich das Vorzeichen ändert, so haben wir:

Fläche {Zi T2T3 TJX\ = - Fläche \TX TJT^TJ^ = Fläche \1\ T^'Τβ'Tx}.

Aus der additiven Eigenschaft des Flächeninhalts ergibt sich weiter Fläche \Τ^χ T² T³ Τ^χ\ + Fläche {1\ T^t 1\' T^a' T^x\ = F l ä c h e\ V \ und aus der früheren Ungleichheit folgt daher

Fläche {F\ ^ Fläche\V'\.

Offenbar ist aber

Umfang [V] = Umfang \V'\.

Wir schlagen nun über der Strecke Ί\ Tⁱ den Kreis und wollen etwa annehmen, T² soll nicht auf dem Halbkreis liegen, den man durchläuft, wenn man von T^x im positiven Umlaufsinn nach T² geht;

mit anderen Worten, der Winkel zwischen den gerichteten Geraden

— — > ·

Τ^χ T^z und T² T⁴ soll kein positiver rechter Winkel sein. Dann kann

Exisienzbeweis bei Vielecken 9 man das Viergelenkverfahren anwenden, indem man Gelenke in T, T., TtΤ' anbringt.

Auf Grund der additiven Eigenschaft des Flächeninhalts stellt man dann genau auf die in § 1 besprochene Art fest, daß das Sechseck V*, das man aus V durch den Viergelenkprozeß erhält,

— > —

das also bei T * einen rechten Winkel zwischen Τ * T * und T2 T * besitzt, einen größeren Flächeninhalt hat wie V. Wir haben dann

Fläche [Vj ^ Fläche \V'\ < Fläche \V*\, Umfang \V\ = Umfang \V'\ = Umfang [F*\, V kann also keine Lösung unserer Maximumaufgabe sein.

Wann läßt sich dieses Viergelenkverfahren nicht anwenden?

Nur dann, wenn T2 und T3 auf dem Halbkreise liegen, der von Γ, nach jf4 im positiven Sinne läuft. Unser Vergrößerungsverfahren kann nur dann versagen, wenn erstens die Verbindungslinie je zweier gegenüberliegender Ecken Τ4; T2, Ί\ ; Ts, Te) den Flächeninhalt halbiert und wenn überdies alle Ecken auf einem Kreise liegen, und zwar im positiven Umlaufsinn. Dann ist aber das Sechseck regel- mäßig. Dieselbe Schlußweise gilt für beliebiges gerades n.

Damit ist das behauptete Ergebnis abgeleitet.

§ 5. Existenzbeweis für Vielecke

Um den Beweis zu Ende zu führen, daß das regelmäßige w-Eck die Lösung der Aufgabe des § 4 ist, bedarf es nach den in § 2 auseinandergesetzten Gründen noch eines Existenzbeweises: Unter allen gleichseitigen Vielecken mit vorgeschriebener Eckenzahl η und ge- gebenem Umfang A gibt es eines, dessen Flächeninhalt S dem Flächen- inhalt aller anderen ist.

Zunächst sieht man mittels einer ganz rohen Abschätzung leicht ein: Die Flächeninhalte aller dieser zulässigen η-Ecke liegen unter der endlichen Schranke A2 :4.

Verlegen wir nämlich eine Ecke 1\ nach 0. Jede Entfernung OTk ist dann denn O und 1\ sind durch zwei Strecken- züge verbunden, deren Summe gleich A ist, von denen also sicher einer Λ : 2 sein muß und um so mehr genügt daher die gerad- linige Verbindung OTk dieser Ungleichheit, da in einem Dreieck die Summe zweier Seiten größer ist als die dritte. Da ferner TkTk + 1 = A:n ist, so haben wir

I Dreiecksfläche \OTkTk„} | < ~ Δ*.

10 Minimumeigenschaft des Kreises Da anderseits

I Φ I = I Fläche {T^... ΤηΤλ] | < «.Maximum | Fläche\OTk Tk+I} | sein muß, so haben wir wirklich die behauptete Abschätzung (*) \Φ\<\Λ*, die sich ohne Mühe noch verschärfen ließe.1

Die beschränkte Menge aller Flächeninhalte Φ der zulässigen Vielecke hat daher eine kleinste obere Schranke oder „obere Grenze"

Φ⁰ und es bleibt zu beweisen, daß es mindestens ein zulässiges Vieleck gibt, dessen Flächeninhalt diesen Wert Φ⁰ hat. Dazu ver- fährt man so.

Da es unter den zulässigen Vielecken solche gibt, deren Flächen- inhalt von der oberen Grenze Φ0 beliebig wenig abweicht, so können wir eine Folge von zulässigen Vielecken Fv F2, F3, . . . konstruieren, deren Flächeninhalte Φλ, Φ.ζ, Φ3, . . . sich mit wachsender Fuß- marke k dem Werte Φ0 unbegrenzt nähern, was man durch die

Formel ausdrückt

ΙΛηιΦ, = Φ0. li —oo

Dabei kann man durch geeignete Verschiebungen erreichen, daß alle diese Vielecke F^lt V^%, F³ . . . einen Eckpunkt O gemein haben.

Wir wollen zeigen, daß wir aus dieser Vielecksfolge Fl, F2, F3 . . . eine Teilfolge von Vielecken herausgreifen können, die gegen ein zulässiges Vieleck mit dem Flächeninhalt Φ0 konvergieren.

Dazu bezeichnen wir zunächst die Ecken des η-Ecks Fk aus- gehend von O in der richtigen Reihenfolge mit O = Tkl, Tt2, . . . Tkn. Die unendliche Punktmenge 7'i2, T22, TM . . . liegt innerhalb des Kreises von O mit dem Durchmesser A, hat also sicher mindestens eiijen Häufungspunkt T0 2, d. h. einen Punkt, in dessen beliebiger Nähe unendlich viele Punkte der Menge liegen, wobei T02 der Menge T12, T22, T32 .. . selbst angehören kann oder auch nicht. Man kann dann aus der Vielecksfolge Fy, F2, F3 . . . eine Teilfolge so heraus- heben, daß die zu dieser Teilfolge gehörigen Eckpunkte Tk2 nur den einzigen Häufungspunkt TQ2 haben, also, wie man sagt, nach 7'02

konvergieren. Ich will die so gewählte Teilfolge von Fl, F2, F3 . . ., um die Bezeichnung nicht zu verwickelt zu gestalten, wieder mit

J'\, F2, V3 bezeichnen, indem ich aus der ursprünglichen Folge nicht brauchbare Vielecke F weggelöscht denke. Die Ecken 1\3,

1 Mit I Φ I bezeichnet man bekanntlich die positive Zahl, die gleich oder entgegengesetzt gleich Φ ist, je nachdem Φ > 0 oder < 0 ist.

§5. Existenzbeweis bei Vielecken 11 T2S, T33, . . . der neuen Folge liegen wieder in dem Kreise um O mit dem Durchmesser A, haben also wieder einen Häufungspunkt 2'^0S und ich richte durch geeignete Löschungen die Sache wieder so ein, daß sie nur diesen Häufungspunkt haben. Wiederholt man dieses Löschungsverfahren (n — l)-mal, so erreicht man schließlich eine Viel- ecksfolge Vx, V2, V3 . . . mit der Eigenschaft, daß jede der Punkt- folgen T^lk, T^lk, T^31t . . . einen einzigen Häufungspunkt T^0k besitzt:

Lim T.k = T0k für k = l, 2, . . . n.

i—>00 3

Das Grenzvieleck V0 mit den Ecken T01, Tg2, . . . T0n leistet das Gewünschte. Zunächst folgt nämlich aus

daß auch ^{J J}

sein muß, d. h. daß auch F⁰ gleichseitig ist und den Umfang Λ hat.

Jetzt müssen wir aus

Lim = Φ0

i — >• 00

noch schließen, daß F⁰ den Flächeninhalt Φ⁰ hat. Jedenfalls können wir zu jeder (beliebig kleinen) positiven Zahl « eine natür- liche Zahl Ν so finden, daß alle Entfernungen T.k T0k < e sind für

A = 1, 2, 3 . . . η und für alle j > N. Wir haben nun für den Flächeninhalt von V0, den wir zunächst mit Φ0* bezeichnen wollen, und für den Flächeninhalt Φ. von V. die Formeln 3 ι

η

Φ» = Ι^ιΙ^ΟΙ^Ο^ + Ι — ^Ofc^Olt+ll' k = 1

η

Φί = !/μ + ι - ν μk = 1 ^xjk ⁺ lì·

Durch Subtraktion und Zwischenschaltung von zwei sich weghebenden Gliedern folgt

Φ *_ Φ _ ι ^ 1+ ^Ok^ot + i — 2/okxok+i) ~ (x0kVjk + i ~ Vok +

0 (xokVjk+i — yok^xjk+i) - {"jtVjt+i-y^}k^xjk+i)\

Beachtet man nun, daß

\xok - xjk\ < e> I y0k - y j k l <s

ist, so findet man

I ^φο* - Φ^ί\<ηΑβ.

12 Minimumeigenschaft des Kreises Daraus folgt aber das gewünschte Ergebnis

Φ * = Lim Φ = Φ0. j -y- oo

V0 gehört also zu den zulässigen Vielecken und hat den Flächen- inhalt Φ0. Der behauptete Existenzsatz ist bestätigt.

Der vorgetragene Beweis dafür, daß aus Γ0 = Lim V

j— >-0O folgt

Fläche {V^{,J = Lim Fläche \F.},

j —>• oo ³

was wir auch so schreiben können:

Fläche Limi F.} = Lim Fläche i —>• oo j —oo

stützt sich nur darauf, daß der Flächeninhalt eine stetige Funktion der Eckpunktskoordinaten ist. Wir haben also an unserem spe- ziellen Beispiel den bekannten Satz bestätigt gefunden, daß bei einer stetigen Funktion das Limeszeichen und das Funktionszeichen ver- tauschbar sind.

Was wir hier im Ganzen bewiesen haben, ist für unseren Sonder- fall der Existenzsatz von WEIERSTBASS über stetige Funktionen, der für Funktionen von einer Veränderlichen so lautet: Ist eine Funk- tion auf einer Strecke mit Einschluß ihrer Endpunkte stetig, so er- reicht sie ihren größten und kleinsten Wert.

Nach dem Ergebnis des § 4 und dem jetzigen ist nun folgendes völlig bewiesen:

Es sei Φ der Flächeninhalt eines nicht regelmäßigen gleichseitigen Vielecks mit gerader Seitenzahl und Φ⁰ der Flächeninhalt des regel- mäßigen positiv umlaufenen Vielecks mit dem gleichen Umfang und derselben Seitenzahl, dann ist stets

Φ<Φ⁰.

Die Beschränkung auf Vielseite mit gerader Seiten- und Ecken- zahl ist natürlich ganz unwesentlich und wird später beseitigt.

In diesem Abschnitt haben wir von einem Grenzprozeß An- wendung gemacht und sind damit aus dem Kreis der Elementar- mathematik herausgetreten, um auf spätere ähnliche Entwicklungen im Falle der räumlichen Geometrie vorzubereiten. Notwendig war dieses Hereinziehen höherer Hilfsmittel nicht, wie wir im nächsten Abschnitt zeigen wollen, wo wir dasselbe Ergebnis noch einmal auf elementarem Weg herleiten werden.

Trigonometrische Ausdrücke 13

§ 6. Gleichseitige Vielecke und trigonometrische Ausdrücke ¹ Das Ergebnis, welches für die gleichseitigen Vielecke auf geo- metrischem Wege hergeleitet wurde, soll jetzt noch einmal rechnerisch gewonnen werden, und zwar auf völlig elementare Art, ohne Ver- wendung irgendeines Grenzüberganges. Dazu werden uns (endliche) trigonometrische Ausdrücke dienen, das heißt Ausdrücke von der Form

f (φ) = c0 + f j cos φ + c2 cos 2 φ + ... + cm cos m φ + c,* sin φ + c2* sin 2 φ + . . . + c¡¡, sin m φ . Wir wollen φ gleichentfernte Werte

2 π „ 2n „ 2 η 2 π φ = , 2 , 3 , . . . η

* η η η η durchlaufen lassen und die zugehörigen Werte von f[<p) mit

ί(ψ) ~ Zl 1 *t, * , , · · · *Λ

bezeichnen. Nehmen wir zunächst an, η sei ungerade und zwischen den natürlichen Zahlen m und η bestehe die Beziehung

η = 2m + 1,

so ist die Anzahl η der ζ gleich der Anzahl der Koeffizienten c.

Schreibt man die ζ vor, so hat man für die η Unbekannten c die η linearen Gleichungen

7)1

(1) ^ZP = ^c0 + 2 Κ C 0 S + C* s i n h p ' J, = 1 , 2 , 3 , . . . » .

Wenn wir zeigen, daß die Determinante des Gleichungssystems, deren p-te Zeile aus den Elementen

Λ , 2 π r, 2 π 2 π

1, cos 1 ρ , cos 2 ρ , . . . cos m ρ ;

' ' η Γ η ' η

• 1 2 π . ⁰ 2 π . 2 π sin 1 ρ , sin 2 ρ . . . . sin τη ρ

ti η τι besteht, von Null verschieden ist, so ist bewiesen, daß das System eine und nur eine Lösung in den Unbekannten c besitzt. Wir wollen die Determinante mit sich selbst nach Spalten multiplizieren, dann stellt sich heraus, daß nur in der Hauptdiagonale der Produkt- determinante von Null verschiedene Elemente stehen.

Zunächst gelten nämlich, wie wir zeigen wollen, die Gleichungen η

(2) = ° ^{f ü r} Ä = l , 2 ,...m.

P= 1

1 Kann übergangen werden.

14 Minimumeigenschaft des Kreises

Man beweist dies am bequemsten mittels der Formel von L. Eülek e"° = cos ω + i sin ω, {ι² = — 1}.

Setzt man nämlich

ε = e so ist

(3) e " = l . Anderseits hat man

2coshp~ = 8 « ' » V — 1

wenn man mit 3\{a + i ß) — a den Realteil bezeichnet. Für die geo- metrische Reihe gilt aber die Summenformel

M 1

und das ist nach (3) gleich Null. Damit ist (2) bewiesen. Ebenso findet sich, wenn man den Imaginärteil unserer geometrischen Reihe für sich betrachtet

η

(5) 2 ^si^ß h Ρ ⁼ 0 f^{ü r} k = \ ,2 , ... m.

p = l

Die Formeln (2) und (5) haben noch einen erweiterten Geltungsbereich:

Ihre Herleitung bleibt richtig, sobald der Nenner 1 — ε in (4) von Null verschieden ist, sobald also k kein Vielfaches von η ist.

Unter den Elementen der Produktdeterminante kommen noch andere Summen vor, diese kann man aber mittels der Additions- theoreme

cos [a + ß) = cos a cos β — sin a sin ß, (6) sin (« + /?) = sin a cos β + cos u sin β auf die Summen (2) und (5) zurückführen.

Mittels (6) ergibt sich nämlich

, 2π , 2 π I f , ,, , 2π , ,, ,. 2π1 C O S Ä p — C O S / p — = _ j + C 0 S ( Ä - W ) p — + C O S ( Ä - l ) p — \ , (7) C O S s i n I p 2-π = sin(Ä + - sin(A - l )P ,

• ι 2ji . , 2π l i ,, , ,. 2 π , ,, ,, 2 π) s i n ^ p — smlP—~ — "ä"I — «»s(* + Oí» — 4-cos(Ä - l)p—\>

Trigonometrische Ausdrücke 15 Daher ist nach (2) und (5)

2 π

(8)

2

, = 1 l o »

»

2 COS hp

[ - 0 für Α φ / ,

) = 1

2 π • , 2 π Λ

— sin I ρ — = 0 , _{η η 1}

2 sin ^{k p ^} sin ^{I ρ}

ρ = 1

ί = 0 für Α φ I, für Α = Ζ.

Dabei durchlaufen A und l die Zahlen 1, 2, 3 . . . m .

In der Produktdeterminante sind also tatsächlich nur die Ele- mente der Hauptdiagonale von Null verschieden, nämlich gleich η oder gleich η : 2. Das Quadrat der Determinante des Gleichungs- systems (1) ist demnach gleich dem Produkt dieser Elemente und daher von Null verschieden. Somit existiert gerade eine Lösung in denc. Unsere Formeln (2), (5), (8) gestatten auch diese Lösung — von der wir später keinen Gebrauch machen werden — sofort hinzuschreiben. Man findet nämlich

(9)

c0 - ⁿ 2 ^Zp ' p = 1

2 'S? , 2 t i η

C. = — 7 Ζk η ¿-J ρ r η > cos ^{k p}

* 2 · , 2τι c, = — 7 ζ„ sin Α ρ — , * η ¿-i Ρ r η_{ρ =} 1 '

Α= 1 , 2 , . . .

Der Inhalt der Formeln (1) ist eine sogenannte lineare Sub- stitution, die die c mit den ζ verbindet. Das Schema oder, wie man auch sagt, die M a t r i x der Koeffizienten der Substitution sieht so aus:

1 ; cos 1 . 1 . — , sin 1 . 1 .

' η

2n cos 2 . 1 . — , o 1 ^{2 î t} _η , 2 ^π .. cos τη. 1. — , _{71 '}

. 0 . 2 ^η sin 2 . 1. — ; _η

sin m. 1 ^{2 π} 1 : cos 1 . 2 . — . sin 1 . 2 . 2 π cos 2 . 2 2 71

o 2 π .. cos m. 2. — , _η '

• O O 2 71 sin 2 . 2 . — ; _η

o 2n sin m. 2 . —. ₁₁

1 . 2 π 2 71 ⁿ 2 π · ⁿ 2 η

1 ; cos 1. η. — , sin 1. η . — ; cos 2 . η. —, sin 2 . η. — ; ra ^{η τι η} ... cos m . η . — 2 π

η

sin m. η. — . 2 π _ti

16 Minirnumeigensehaft des Kreises

Die in den Formeln (2), (5), (8) enthaltenen Beziehungen zwischen den Koeffizienten lassen sich so in Worte fassen: Kombiniert man eine Spalte der Koeffizientenmatrix mit sich selber, so erhält man ein von Null verschiedenes Ergebnis (nämlich η oder η : 2) und kom- biniert man zwei verschiedene Spalten, so erhält man immer Null.

Das sind im Wesentlichen die kennzeichnenden Eigenschaften einer sogenannten orthogonalen Matrix.

Bilden wir die Quadratsumme der z, so finden wir zufolge der Orthogonalitätseigenschaften (2), (5), (8) die für alles Folgende grund- legende Formel:

(10)

Auch diese identische Beziehung ist für die Orthogonalität der Sub- stitution (1) kennzeichnend, denn aus (10) kann man wieder rückwärts auf die Gültigkeit der Orthogonalitätsbeziehungen (2), (5), (8) schließen.

Aus (10) kann man ohne weiteres eine etwas allgemeinere Formel herleiten, die sich auf zwei verschiedene Größenreihen bezieht.

Setzen wir

m k = 1

m

ζρ = Yo {y*^{cos h p} Τ ^{+ h p} τ } ' Jtsl

und wenden wir auf die z^p + λ ζ^ρ die Formel (10) an, so erhalten wir durch Yergleichung der in λ linearen Glieder

(10*)

η m

coro + Y^>Kn+c*y*\

1 1

Etwas anders fallen die Formeln aus, wenn wir η als gerade η = 2 m annehmen.

Dann setzen wir

= c^a + c, cosρ - — I - c, cos 2 » 1- . . . + c cos (m — 1)» —

P tu ' m m 1 v J r m,

+ c^m cos mp~

+ ci *s i nΡ -Zr + c2*sìn2P~+ · · · + s i n (m

Trigonometrische Ausdrücke 17 So stimmt wieder die Anzahl η der ζ mit der Zahl der Koeffi- zienten c überein. Die Gleichungen (2) und (5) gelten wie vorhin, aber die Formeln (8) erfahren eine kleine Änderung, es wird nämlich

, ^ ί = Ή für Ä < 771, (8') 2C 0 S Ä/ ' — cosAp — ... .

î» = i m. r m \ = η fur A = m.

An Stelle von (10*) tritt also jetzt die Formel

η m — 1

(10') = ^Cor⁰ + ^cm7^m + + c*rk*\

p= 1 k = 1

Die gewonnenen Ergebnisse werden wir nun auf die Vielecke anzuwenden haben.

Die Zahl η der Eckpunkte xp, yp \p = 1, 2, . . . n\ sei etwa zunächst ungerade. Dann können wir, wie bewiesen wurde, die Koeffizienten a und b so wählen, daß die Koordinaten sich in der Form darstellen lassen:

(H)

. "V1 7 2 71 * · r 2 π

*,Bsao + 2la"coshP^r + <s m kP - i r ' fc = 1

m

L . 'S? / 7 2π , • 2 rt yf = bo + zb" c o s kP ^ - + h sinxP^r>

k—1

ρ = 2 . . . n; « = 2 t o + 1 .

W i r wollen nun berechnen, wie sich Umfang und Flächeninhalt des Vielecks durch die Konstanten a und b ausdrücken lassen.

Bilden wir zunächst χ . , — χ und formen wir uns diese Diffe- renz etwas um, bis sie die Form annimmt wie früher zp. W i r finden:

m

2 |cobA(/»+ 1 ) - ^ - - COS k p - ^ - j

* = 1

+ a* |sin h [ρ + 1) ~ ein Α ρ m •

= 2 Ia" - ^l ) + ^a^^{s i n Ä}4 r l ^{c o s ä}^ 4 T

+ { - aksin A s i 2 η

+ a * cos ι 2ττ Λ . , 2 π : Α 1Η stn Α ρ —

η J) Γ η

Benutzt man nun die Formel (10), indem man die in den geschweiften

BUSCHES, Kreis und Kugel 2

18 Minimumeigenschaft des Kreises

Klammern stehenden Ausdrücke mit den Koeffizienten c zusammen- fallen läßt, so erhält man:

η m

- 2 K 3 + o ( I - c o s ä^ L ) . 2> = 1 *=1

Vertauscht man die Buchstaben x, a mit y, b, so ergibt sich ebenso

- - -c o s A4 r )

p=l k=l und durch Addition

η m

Ì 2 + ( y ,⁺Γ - y,? = 2 ^ + + V + V²) 2 s i n * A f . p = l lt = l

Sind alle Vieleckseiten gleich lang, so ist dieser Ausdruck gleich dem Quadrat der Vieleckseite oder, wenn A den Umfang bedeutet, gleich A²:n².

Wir haben also für den Umfang eines gleichseitigen (2 m + 1)-Ecks die Formel gefunden:

(12)

Berechnen wir jetzt den Flächeninhalt Φ! Es ist

η η η 2 φ = - y , * , + 1 ) = - y j - S y ^ + i - *„)·

ρ *= I p = L ρ = 1

Verwenden wir für x^{p +}, — x^p den gefundenen Ausdruck und für y ρ +1 — y ρ den analogen, den man wieder dadurch erhält, daß man

χ, a durch y, b ersetzt, so findet man durch zweimalige Verwendung der Formel (10):

(13)

m

2 Φ ^ n ^ { a^kb ; - b^ka^k* ) Ä u k ^ - k = 1

Bei einem regelmäßigen η-Eck, dessen Umkreis den Halbmesser R hat, ergibt sich für Umfang und Flächeninhalt:

A = 2 η R sin —, _η Φ = η R3 sin — cos —

η η ι

Trigonometrisehe Ausdrücke 19 es besteht also die Beziehung:

Λ* - 4wtg — · Φ = 0.

σ η

"Wenn wir nun beweisen können, daß für jedes andere gleichseitige η-Eck die Ungleichheit gilt

— 4 « t g — · Φ > 0, _σ η

so ist die Minimumeigenschaft des regelmäßigen Vielecks bewiesen.

Aus unseren Formeln (12) und (13) ergibt sich durch eine leichte Umformung

/•.^ + [α sin A — — b *cosA — tg — ]

(14) \ η k η σ η j

J 2 _ 4 n t g ^ - · Φ = 2

* = ι

+ Ι α * sin h — + Α.. cos A — t<* — ) ι k n « η ' η }

\2

Da hierin rechts lauter nicht negative Glieder stehen, denn es ist tg A — — tg — 2: 0 für A = l , 2, . . . τ η ,

° η ° η — ' 7

so ist in unserer Formel (14) tatsächlich die Beziehung Λ2 - 4 n t g — · Φ > 0 ° « —

enthalten und es handelt sich nur mehr darum, aus ihr festzustellen, wann das Gleichheitszeichen gilt.

Zunächst ergibt sich aus der Betrachtung des dritten Summan- den, daß im Falle der Gleichheit alle bk und b* für Α > 1 ver- schwinden müssen. Aus dem Verschwinden der beiden ersten Sum- manden folgt weiter, daß auch alle ak = 0, a* == 0 sind für A > 1 und daß «j — b* = 0 und at* + bx = 0 wird. Wir finden also für die Koordinaten der Eckpunkte die Darstellung:

1

χρ~αο = a i C 0 S• 2 7Τ , 2« / " - Ι . * . · · · » · P : — òismΡ ' V„ — b. = a. sin ρ l· b. cos ρ

' ρ ο ι ' η 1 η

Das η-Eck mit diesen Eckpunktskoordinaten ist aber in der Tat regelmäßig.

Bisher haben wir die Eckenzahl η als ungerade η = 2 m + 1 vorausgesetzt und es bleibt noch zu untersuchen, wie sich die For- meln ändern, wenn wir η gerade η = 2 m annehmen. Aus (10') sieht 2*

20 Minimumeigenschaft des Kreises

man, daß man aus den Formeln (12), (13), (14) die für gerades η gültigen Formeln einfach dadurch erhalten wird, daß man am, am*, bm, bm* der Reihe nach ersetzt durch ]/2 am, 0,]/2 bm, 0. Man erhält auf diese Art genau so wie zuvor die Beziehung:

At-4ntg— · Ψ 2= 0

° η — ·

und erkennt, daß das Gleichheitszeichen nur dann richtig ist, wenn sich die Eckpunktskoordinaten in der Form (15) schreiben lassen, wenn also das Vieleck regelmäßig, ist. Damit ist das gewünschte Er- gebnis erreicht.1

§ 7. Bogenlänge einer Kurve

Will man jetzt, ausgehend von der auf zwei verschiedene Arten bewiesenen Maximumeigenschaft der regelmäßigen Vielecke, die iso- perimetrische Eigenschaft des Kreises beweisen, so ist es zunächst notwendig, sich mit den Begriffen „Bogenlänge" und „Flächeninhalt"

auseinanderzusetzen. Dabei sind gewisse Schwierigkeiten zu über- winden, die aber im Wesen der Sache liegen. Dafür bildet das Studium dieser Begriffe die Quelle der Infinitesimalrechnung, wie man in Arbeiten von A R C H I M E D E S bis L E B E S G U E bestätigen kann.

Die im Intervall a ^ t ^ b stetigen Funktionen χ(/), y(<) geben eine Parameterdarstellung

x = *(<), y = y(f)

einer „stetigen Kurve" Κ mit dem Anfangspunkt Ä und dem End- punkt B. Wir werden von den Funktionen χ (<), y{t) stets voraus- setzen, daß es kein Teilintervall a ^ x ^ ß gibt, in dem die Funk- tionen beide konstant sind; wir nehmen also an, daß niemals einem ganzen Intervall des Parameters t ein einziger Kurvenpunkt zugeordnet ist.

Nehmen wir auf Κ irgendwelche Punkte Tv . . . Tn_x an, die den Parameterwerten tlf t2, . . . tn_1 in der Anordnung:

a<tl<ti... <tn_x<b

entsprechen! Verbinden wir die Punkte A, Tv Tv . . . Tn_l f Β der Reihe nach durch geradlinige Strecken, so erhalten wir einen „der

1 Die Formeln (12), (13) und (14) gehen, wenn man den Grenzübergang η —>- OO ausführt, in Beziehungen über, die A. HOKWITZ angegeben hat. Sur quelques applications géométriques des séries de FOURIER, Annales de l'école normale supérieure (3) 19 (1902), S. 357—408.