1) Die Funktion h : (−∞, ∞) = D(h) −→ E

Methoden der mathematischen Physik Ubungsaufgaben , Serie 3: ¨

PD Dr. B. Rummler 28.04. 2017

1) Die Funktion h : (−∞, ∞) = D(h) −→ E

sei erkl¨ art durch:

h(s) : = Z

−∞

exp (− t

2 − its) dt ∀ s ∈ (−∞, ∞) . Bekannt ist außerdem, dass h(0) = √

2π gilt.

Zeigen Sie: Die Funktion h gen¨ ugt der gew¨ ohnlichen Differentialgleichung h

(s) = −s · h(s) und

bestimmen Sie h!

2) Nutzen Sie das Ergebnis der 1. Aufgabe f¨ ur die Berechnung der Fouriertransformation

F (e

) = F(exp (− ||x||

2 )) !

3) Vorgegeben sei die Heaviside-Funktion H : (−∞, ∞) = D(H) −→ E

und die Funk- tion u : (−∞, ∞) = D(u) −→ E

, mit:

u(t) := 4 sin(t) · H(t)

Uberpr¨ ¨ ufen Sie, ob u im distributionelen Sinne L¨ osung der Gleichung d

u

dt

+ u = 4δ ist.

4) Zeigen Sie vermittels partieller Fouriertransformation die Richtigkeit der Poisson’sche L¨ osungformel f¨ ur das Dirichletsche Randwertproblem der Laplace-Gleichung in der Halbebene H

:

Die L¨ osung u : H

−→ E

des Randwertproblemes

− ( ∂

u

∂x

+ ∂

u

∂x

) = 0 in H

:= {x ∈ E

: x

> 0} mit u(x

, 0) = f (x

) ∀ x

∈ (−∞, ∞) und f ∈ C( R

) sowie f beschr¨ ankt, wird durch die Poisson’sche L¨ osungformel

u(x

, x

) : = 1 π

Z

−∞

x

(x

− t)

+ x

f(t) dt ∀ x ∈ H

beschrieben. Untersuchen Sie zudem, in welchem Sinne die Randbedingungen angenom-

men werden.