Ausgew¨ ahlte Anwendungen der Mathematik

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AAM WSe05/06

d. 9. November 2005

Ausgew¨ ahlte Anwendungen der Mathematik

Blatt 5

A) P_n sei ein regelm¨aßiges n-Eck, umgeschrieben um den Kreis mit Radius 1. Die Seitenl¨ange von P_n seiS_n. Dann ist der Umfang U_n=nS_n.

1. Finden Sie eine nat¨urliche Konstruktion von P_2n mit Hilfe des n-Ecks P_n; 2. Berechnen Sie S2n mit Hilfe von Sn;

3. Berechnen Sie die Folge der Umf¨ange

• U₄, U₈, U₁₆, . . . , U₂²⁰,

• U₃, U₆, U₁₂, . . . , U3∗2²⁰,

mit einem Tabellenkalkulationsprogramm. Vergeichen Sie die Ergebnisse mit 2π.

B) Π_n sei ein regelm¨aßiges n-Eck, eingeschrieben in den Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt M. Die Eckpunkte von Π_n seien E₁, E₂, . . . , E_n. Außerdem sei α_n der Winkel zwischen M E₁ und M E₂. Es gilt α_n= ^2π_n.

1. Berechnen Sie die L¨ange der Seite E₁E₂ mit Hilfe von sin^α₂ⁿ;

2. Berechnen Sie die Folge der Umf¨angeU4, U8, U16, . . . , U₂²⁰ mit einem Tabellenkal- kulationsprogramm. Vergeichen Sie die Ergebnisse mit 2π;

3. Was folgt aus Aufgabenteil B2 f¨ur den Grenzwert limn→∞ sinxn

xn mit x_n = ^π_n. 4. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f(x) = ^sinx_x (z. B. mit einem graphi-

schen Taschenrecher, Tabellenkalkulationsprogramm, . . . ). Interpretieren Sie das Ergebnis des Aufgabenteils B3.