Prof. Dr. Uwe K¨uchler Sommersemester 2007 Dr. Renate Winkler
Institut f¨ur Mathematik
Stochastik I
L¨osungsans¨atze zur 6. Zusatz¨ubung
1) Es sei X eine mit dem Parameter λ > 0 Poissonverteilte Zufallsgr¨oße und n eine nat¨urliche Zahl mitn≥1. Man zeige, dass gilt
E(Xn) =λE [(X + 1)n−1] Berechnen Sie damit E(X3).
L¨osung:
E(Xn) = e−λ
∞
X
k=0
knλk
k! = e−λ
∞
X
k=1
knλk
k! = e−λ
∞
X
k=0
(k+ 1)n λk+1 (k+ 1)!
= λe−λ
∞
X
k=0
(k+ 1)n−1λk
k! = λE(X+ 1)n−1 E(X2) = λE(X+ 1) = λ(λ+ 1) = λ2+λ
E(X3) = λE(X+ 1)2 = λE(X2+ 2X+ 1) = λ(λ2+λ+ 2λ+ 1) = λ3+ 3λ2+λ 2) Eine Urne enthalte anfangs eine rote und eine schwarze Kugel. Nacheinander wird eine
der in der Urne befindlichen Kuglen rein zuf¨allig ausgew¨ahlt und gemeinsam mit einer weiteren Kugel derselben Farbe zur¨uckgelegt. Es seiX die Nummer desjenigen Zuges, bei dem zum ersten Mal eine rote Kugel gezogen wird.
a) Man berechneP(X > n).
b) Man beweiseP(X <∞) = 1, d.h., mit Wahrscheinlichkeit Eins wird irgendwann eine rote Kugel gezogen.
c) Man bestimme EX.
L¨osungEs seiXidie Zufallsvariable mit Werten in{r, s}, die angibt, ob imi-ten Zug eine rote oder eine schwarze Kugel gezogen wird. Dann gilt
P(X =k) = P(X1=s, X2=s, . . . , Xk−1=s, Xk=r)
= P(X1=s)·P(X2=s|X1=s)· · · ·P(Xk−1=s|X1=. . .=Xk−2=s)
·P(Xk=r|X1=. . .=Xk−1=s)
= 1 2·2
3· · · ·k−1 k · 1
k+ 1 = 1
k(k+ 1) = 1 k − 1
k+ 1 a)P(X > n) = 1−P(X ≤n) = 1−Pn
k=1P(X=k) = 1−Pn
k=1 1 k −k+11
= n+11
b)P(X <∞) =P(∪∞n=1X ≤n) = limn→∞P(X ≤n) = 1−limn→∞P(X > n) = 1 c)E(X) = P∞
k=1k·p(X=k) = P∞
k=1kk(k1+1) = P∞
k=1 1 k+1 = ∞
