1. Es sei X eine reellwertige Zufallsgr¨oße mit F als Verteilungsfunktion.

Prof. Dr. Uwe K¨uchler Institut f¨ur Mathematik

Statistik stochastischer Prozesse 1. ¨ Ubung, 18. 04. 2005

1. Es sei X eine reellwertige Zufallsgr¨oße mit F als Verteilungsfunktion.

Man zeige:

a) Die Menge I _F := {u ∈ R ₁ |

Z

R

exp(ux)F (dx) < ∞}

ist ein Intervall, das die Null enth¨alt.

b) Ist 0 ∈ I ^o F so ist die Funktion ψ F (u) := ln

Z

R

exp(ux)F (dx)

auf I ^o F unendlich oft differenzierbar mit ψ ⁰ (0) = EX und ψ ⁰⁰ (0) = D ² X.

ψ _F heißt Kumulantenfunktion der Verteilungsfunktion F . c) Durch

F _u (x) :=

Z x

−∞

exp[ux − ψ _F (u)]dF (x)

ist eine Familie (F _u |u ∈ I _F ) von Verteilungsfunktionen definiert, die sogenannte von F erzeugte Exponentialfamilie.

d) Man berechne Erwartungswert und Streuung von X bez¨uglich F _u .

e) Man gebe die von folgenden Verteilungsfunktionen erzeugten Exponentialfam- ilien an:

Exp(λ), Poisson (λ), Γ(α, λ), N(µ, σ ² )

2. Der Poissonprozess (N _t , t ≥ 0) mit dem Parameter λ > 0 ist ein stochastischer Prozess mit

a) N ₀ = 0 P _λ -fast sicher

b) F¨ur alle t ₀ , t ₁ , · · · , t _n mit 0 ≤ t ₀ < t ₁ < · · · < t _n sind die Zuw¨achse N _t

− N _t

, k = 1, · · · , n voneinander unabh¨angig.

c) N _t − N _s ∼ Poisson (λ(t − s)).

Man berechne f¨ur 0 < t ₁ < t ₂ < · · · < t _n die Wahrscheinlichkeiten P λ (N t

= i 1 , · · · , N t

= i n ) und P λ (N s = i|N t = j ).

1

d) Mit Hilfe beobachteter Werte N _s , s ≤ t konstruiere man einen Sch¨atzer f¨ur λ.

3. Es sei g eine reellwertige konvexe Funktion auf einem Intervall I der reellen Achse.

Die Youngtransformierte h von g ist definiert durch h(a) := sup

u∈I

[ua−g(u)], a ∈ R ₁ . a) Man zeige, dass h eine konvexe Funktion auf R ₁ ist.

b) Man berechne h f¨ur den Fall g (u) = ^|u| _p

(p sei gr¨oßer als Eins).

Die Youngtransformierte der Kumulantenfunktion ψ _F heißt Cramertransformierte von F und werde mit h _F bezeichnet.

c) Man berechne h _F f¨ur den Fall, dass X zweipunktverteilt ist mit P (X = 1) = p, P (X − 0) = 1 − p, p ∈ (0, 1).

2