Bestimmen Sie die L¨osungsmenge des folgenden Gleichungssystems ¨uber dem K¨orperC

SS 2003

Prof.Dr. G. Nebe

Andreas Martin Blatt 4

Ubungen zur Linearen Algebra¨ Abgabe : Dienstag, 18.5.2004, vor den ¨Ubungen

1. Bestimmen Sie die L¨osungsmenge des folgenden Gleichungssystems ¨uber dem K¨orperC.

ix1 +x² +2x³ = 3 2x¹ +ix² +5x³ = 1

(2 P.) 2. Es sei K ein K¨orper, V, W seien K-Vektorr¨aume, und ϕ: V →W sei eine

lineare Abbildung. Zeigen Sie.

(i) F¨ur jeden Teilraum U ≤V istϕ(U)≤W. (ii) F¨ur jeden Teilraum U ≤W ist ϕ⁻¹(U)≤V.

(iii) Istϕein Isomorphismus, so ist auchϕ⁻¹ :W →V ein Isomorphismus.

(je 2 P.) 3. Entscheiden Sie jeweils, ob U ein Teilraum des K-Vektorraums V ist.

(i) K =R, V =R², U ={ x1

x2

∈R²| 3x1+x2 = 0}. (ii) K =R, V =R², U ={

x1

x2

∈R²| x1x2 = 0}.

(iii) K =F₃, V =K², U ={ x1

x2

∈F²₃| x³1 =x³2}.

(iv) K =R, V =R[x], U ={p∈R[x]| p(1) = 0}.

(je 1 P.) 4. Entscheiden Sie jeweils, ofϕeine lineare Abbildung zwischen denK-Vektorr¨aum-

en ist. Bestimmen Sie gegebenenfalls das Bild und den Kern von ϕ.

(i) K =R, ϕ:R³ →R²,



 x1

x2

x3



7→

x1 + 3x² 2x1+ 2x2

. (ii) K =R, ϕ:R→R, x7→x².

(iii) K =F₂, ϕ:F₂ →F₂, x7→x².

(iv) K =R, ϕ:R[x]→R[x], p7→p^′′′+p^′.

(je 2 P.) 5. Bestimmen Sie jeweils den ggT der beiden Polynome.

(i) f :=x⁴+5x³+7x²+5x+6∈R[x],g :=x⁵−x⁴+2x³−2x²+x−1∈R[x].

(ii) f und g wie oben definiert, aber inF₂[x].

(je 2 P.) Die ¨Ubungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse:

www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/nebe/Vorl/la

Tutoriumsaufgaben:

1. Zeigen Sie, daß die Abbildung

ϕ :R³ →R³,



 x1

x2

x3



7→





2x¹−x2

x1+x3

3x¹ −2x²−x3





linear ist und bestimmen Sie ihr Bild und ihren Kern.

2. Zeigen Sie, daß die Abbildung C → C, z 7→ z ein Isomorphismus von R- Vektorr¨aumen und ein Ringhomomorphismus ist. Ist sie auch ein Isomor- phismus von C-Vektorr¨aumen?

3. Bestimmen Sie jeweils den ggT der Polynome x³+ 2x²+x+ 2 undx⁴−1 (i) in R[x].

(ii) in F₂[x].