Universit¨at Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Lineare Algebra 2017 Dr. D. Huynh
Blatt 2 Aufgabe 6
Es sei ϕ : V → W eine lineare Abbildung zwischen K -Vektorr¨aumen. Zeigen Sie (a) imϕ ist ein Untervektorraum von W .
(b) ϕ ist genau dann injektiv, wenn ker ϕ = {0}.
Aufgabe 7
Welche der folgenden Teilmengen des Q
3sind Untervektorr¨aume des Q
3? (a) M
1= {(x, y, z)|xy − z = 0}
(b) M
2= {(x, y, z)|x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}
(c) M
3= {(x, y, z)|x
2+ y
4= 0}
(d) M
4= {(x, y, z)|x + 2y = 3z}?
Weisen Sie die Richtigkeit Ihrer Antworten nach.
Aufgabe 8
Zeigen Sie, dass die Menge V aller konvergenten Folgen (x
n)
n∈Nin R mit den Ope- rationen
(x
n) + (y
n) = (x
n+ y
n) λ(x
n) = (λx
n), λ ∈ R
einen reellen Vektorraum bildet. Was ist seine Dimension? Zeigen Sie, dass die Ab- bildung ϕ : V → R, die der Folge (x
n) ihren Grenzwert zuordnet, linear ist. Was ist ker ϕ?
Aufgabe 9 Es seien v
1=
1
−1 1
, v
2=
0 1 1
, v
3=
2 1 0
.
(a) Zeigen Sie, dass v
1, v
2, v
3eine Basis des R
3bilden.
(b) Sei w =
5 1
−1
. Bestimmen Sie die Koeffizienten von w bez¨uglich dieser Basis.
(c) Sei ϕ : R
3→ R
2eine lineare Abbildung mit ϕ(v
1) =
1 1
, ϕ(v
2) = 0, ϕ(v
3) = −1
2
. Bestimmen Sie ϕ(w).
bitte wenden
Aufgabe 10
Beweisen Sie die Dimensionsformel: Sei ϕ : V → W eine lineare Abbildung zwischen K -Vektorr¨aumen und dim V < ∞. Dann gilt
dim imϕ + dim kerϕ = dim V .
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