Universit¨at Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Lineare Algebra 2018 Dr. D. Huynh
Blatt 6 Aufgabe 25
Es seienV einK-Vektorraum undU1, U2 ⊆V Untervektorr¨aume vonV. Zeigen Sie:
(a) U1∪U2 ist genau dann ein Untervektoraum, wenn U1 ⊆U2 oder U2 ⊆U1. (b) U1+U2 :={x+y|x∈U1, y ∈U2} ist ein Untervektorraum von V.
(c) F¨ur Untervektorr¨aume U, U0 von V gilt
• U +U =U
• U +{0}=U
• U ⊆U+U0
• U +U0 =U ⇔U0 ⊆U. Aufgabe 26
Bestimmen Sie ein Komplement U0 zum Untervektorraum
U =
*
1 2 3
,
−2 3 1
,
4 1 5
+
des R3.
Aufgabe 27
Es seienV ein K-Vektorraum, U ein Untervektorraum und v, v0 ∈V. Zeigen Sie (a) v+U =v0+U ⇔v−v0 ∈U.
(b) Die Skalarmultiplikation des Quotientenvektorraums V /U gegeben durch K×V /U →V /U
α(v+U)7→αv+U ist wohldefiniert.
Aufgabe 28
Es seien m, n ∈ N mit m < n. Zeigen Sie mit Hilfe des Homomorphiesatzes f¨ur Vektorr¨aume (bzw. Korollar 8.1.10)
Rn/Rm ∼=Rn−m.
Aufgabe 29 Zeigen Sie
ϕ: R[X]→C
n
X
j=0
ajXj 7→
n
X
j=0
ajij
ist ein surjektiver Ringhomomorphismus mit kerϕ = (X2 + 1). (Hier bezeichnet i die imagin¨are Einheit). Folgern Sie
R[X]/(X2+ 1)∼=C.
