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1. Gegeben seien die folgenden Abbildungen R n → R m . Bestimmen Sie jeweils f¨ ur alle x ∈ R n die Funktionalmatrix.

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Academic year: 2021

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Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun

D¨ usseldorf, den 29.10.2019 Blatt 4

Ubungen zur Analysis II ¨

1. Gegeben seien die folgenden Abbildungen R n → R m . Bestimmen Sie jeweils f¨ ur alle x ∈ R n die Funktionalmatrix.

(a) (2P) f : R → R 2 , f (x) =

x cos(x) x sin(x)

.

(b) (2P) g : R 2 → R , g(x 1 , x 2 ) = cos(x 1 + x 2 )e x

1

. (c) (2P) h : R 3 → R 2 , h(x 1 , x 2 , x 3 ) =

x 3 e x

1

x

2

ln(1 + x 2 1 x 2 3 )

.

(d) (4P) Bestimmen Sie alle vier zweiten partiellen Ableitungen von g.

2. (a) (4P) Zeigen Sie, dass die Funktion f : R → R , f (t) =

( t 2 sin 1 t

, t 6= 0,

0, t = 0,

differenzierbar ist.

(b) (6P) Zeigen Sie, dass ihre Ableitung unstetig in 0 ist.

3. Die Funktion f : R 2 → R sei gegeben durch f (x, y) =

xy x 2 − y 2

x 2 + y 2 , (x, y) 6= (0, 0), 0, (x, y) = (0, 0).

(a) (4P) Bestimmen Sie

∂f

∂x (0, y) und ∂f

∂y (x, 0) f¨ ur alle x, y ∈ R .

(b) (4P) Zeigen Sie, dass f von der Klasse C 1 ist.

(c) (2P) Zeigen Sie

∂ 2 f

∂x ∂y (0, 0) 6= ∂ 2 f

∂y ∂x (0, 0).

4. (10P) Gegeben sei die Abbildung

f : R n×n → R n×n , A 7→ A 3 .

Zeigen Sie ihre totale Differenzierbarkeit und bestimmen Sie f 0 (A) f¨ ur alle A ∈ R n×n .

Abgabe: Di, 05.11.2019, 12:20 Besprechung: 13.–14. November

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