Es seien r linear unabh¨ angige Vektoren a 1 , . . . , a r im R n gegeben, und V :=

4 Vektoranalysis

4.1 Riemannsche Metriken

Zun¨ achst etwas Lineare Algebra:

Es seien r linear unabh¨ angige Vektoren a ₁ , . . . , a _r im R ⁿ gegeben, und V :=

R (a 1 , . . . , a n ) sei der von ihnen aufgespannte Untervektorraum.

Setzt man A := (a ^> ₁ , . . . , a ^> _r ) ∈ M _n,r ( R ), so ist A ^> · A ∈ M _r,r ( R ), und G(a ₁ , . . . , a _r ) := det(A ^> · A) = det

a _i

a _j

i, j = 1, . . . , r heißt die Gramsche Determinante von a ₁ , . . . , a _r .

Das Skalarprodukt auf dem R ⁿ induziert ein Skalarprodukt auf dem Unterraum V . Ist nun {u ₁ , . . . , u _r } eine ON-Basis von V , so gibt es eine Darstellung

a _i =

r

X

ν=1

α _iν u _ν , i = 1, . . . , r.

Setzen wir α i := (α i1 , . . . , α ir ) und A e := (α ^> ₁ , . . . , α ^> _r ), so ist a _i

a _j = X ^r

ν=1

α _iν u _ν

•

X ^r

µ=1

α _jµ u _µ

=

r

X

ν=1

α _iν α _jν = α _i

α _j

und A e ^> · A e = A ^> · A, also G(a 1 , . . . , a r ) = det(A ^> · A) = det( A e ^> · A) = det( e A) e ² . Jetzt versehen wir V mit einer Orientierung. Ist {u ₁ , . . . , u _r } positiv orientiert und {η ¹ , . . . , η ^r } ⊂ V ^∗ die dazu duale Basis, so ist

Ω _V := η ¹ ∧ . . . ∧ η ^r ∈ A ^r (V ) die zugeh¨ orige Volumenform, und es gilt:

|Ω V (a 1 , . . . , a r )| = |det( A)| e = p

G(a 1 , . . . , a r ).

Jetzt betrachten wir den Spezialfall r = n − 1. Dann ist V eine Hyperebene.

Ist N ∈ R ⁿ ein Einheitsnormalenvektor zu V und (N, u ₁ , . . . , u n−1 ) im R ⁿ positiv orientiert, so entspricht die durch N gegebene transversale Orientierung von V der gegebenen positiven inneren Orientierung von V . Sei {ψ, ϕ ¹ , . . . , ϕ ⁿ⁻¹ } ⊂ ( R ⁿ ) ^∗ die duale Basis zu {N, u ₁ , . . . , u n−1 }. Dann ist η ⁱ := ϕ ⁱ | _V , f¨ ur i = 1, . . . , n − 1.

Sind a ₁ , . . . , a _n−1 linear unabh¨ angig, so wird durch ϕ(w) := det(w ^> , a ₁ , . . . , a _n−1 )

eine Linearform ϕ auf dem R ⁿ definiert. Daher gibt es genau einen Vektor z, so

dass ϕ(w) = z

w ist. Man bezeichnet diesen eindeutig bestimmten Vektor z mit

dem Symbol a ₁ × . . . × a _n−1 . Das ergibt die Gleichung

(a ₁ × . . . × a n−1 )

w = det(w, a ₁ , . . . , a n−1 ).

Insbesondere steht a ₁ × . . . × a n−1 auf V senkrecht, ist also ein Vielfaches von N.

Der Laplacesche Entwicklungssatz besagt:

det(w, a ₁ , . . . , a n−1 ) =

n

X

k=1

(−1) ^k+1 w _k · det(A _k ),

wobei A _k die quadratische Matrix ist, die aus A = (a ^> ₁ , . . . , a ^> _n−1 ) entsteht, indem man die k-te Zeile streicht.

Wir erinnern uns nun an die einem Vektor w kanonisch zugeordnete (n − 1)-Form Λ _w . Benutzen wir das euklidische Skalarprodukt, die positiv orientierte Standard- basis {e ₁ , . . . , e _n } und die dazu duale Basis {ε ¹ , . . . , ε ⁿ }, so ist

Λ _w =

n

X

k=1

w _k (−1) ^k+1 ε ¹ ∧ . . . ∧ ε b ^k ∧ . . . ∧ ε ⁿ .

Dann folgt: Λ _w (a ₁ , . . . , a n−1 ) =

n

X

k=1

(−1) ^k+1 w _k · det(A _k ) = w

(a ₁ × . . . × a n−1 ) und Ω V (a 1 , . . . , a n−1 ) = η ¹ ∧ . . . ∧ η ⁿ⁻¹ (a 1 , . . . , a n−1 )

= ψ ∧ ϕ ¹ ∧ . . . ∧ ϕ ⁿ⁻¹ (N, a ₁ , . . . , a n−1 )

= ε ¹ ∧ . . . ∧ ε ⁿ (N, a ₁ , . . . , a n−1 ) = det(N, a ₁ , . . . , a n−1 )

=

n

X

k=1

(−1) ^k+1 N k · det(A k ) = (a 1 × . . . × a n−1 )

N, also

p G(a ₁ , . . . , a n−1 ) = |Ω _V (a ₁ , . . . , a n−1 )| = |(a ₁ × . . . × a n−1 )

N|

= ka ₁ × . . . × a n−1 k.

(Da N und a ₁ × . . . × a n−1 zueinander parallel sind, wird die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung zu einer Gleichung).

Definition

Sei X eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Riemann- sche Metrik auf X ordnet jedem Punkt x ∈ X ein Skalarprodukt γ _x auf dem Tangentialraum T _x (X) zu, so dass gilt:

Sind ξ, η differenzierbare Vektorfelder auf X, so ist

x 7→ γ _x (ξ _x , η _x )

eine differenzierbare Funktion.

4.1 Riemannsche Metriken 121

Zur Erinnerung: Dass γ _x ein Skalarprodukt auf T _x (X) ist, bedeutet:

1. γ _x : T _x (X) × T _x (X) → R ist R -bilinear.

2. Es ist γ _x (v, w) = γ _x (w, v) f¨ ur alle v, w ∈ T _x (X).

3. Ist v 6= 0, so ist γ _x (v, v) > 0.

Ist (U, ϕ) eine Karte f¨ ur X, so gibt es lokale Darstellungen ξ =

n

X

ν=1

ξ ^ν ∂

∂x _ν und η =

n

X

ν=1

η ^ν ∂

∂x _ν .

Setzen wir g _νµ (x) := γ _x ∂

∂x ν

x

, ∂

∂x µ

x

, so ist γ _x (ξ(x), η(x)) = X

ν,µ

ξ ^ν (x) · η ^µ (x) · g _νµ (x).

Fassen wir die g νµ zu einer Matrix G ϕ und die ξ ^ν (bzw. η ^µ ) zu einem Vektor ξ _ϕ (bzw. η _ϕ ) zusammen, so erhalten wir die Gleichung

γ _x (ξ(x), η(x)) = ξ _ϕ (x) · G _ϕ (x) · η _ϕ (x) ^> .

Die Riemannsche Metrik liefert auf jedem Tangentialraum eine Norm:

|v| _γ := γ _x (ξ(x), ξ(x)) ^1/2 = ξ _ϕ (x) · G _ϕ (x) · ξ _ϕ (x) ^> 1/2

.

4.1.1. Beispiel

Sei G ⊂ R ⁿ ein Gebiet und X ⊂ G eine abgeschlossene k-dimensionale Un- termannigfaltigkeit. Dann wird durch

γ _x (v, w) := v

w

eine Riemannsche Metrik (die kanonische Riemannsche Metrik) definiert. Ist ϕ : T → U ⊂ X eine lokale Parametrisierung und ψ = ϕ ⁻¹ die davon bestimmte Karte, so bilden die Vektorfelder

X _i (ϕ(u)) := Dϕ(u)(e _i ) = ∂ϕ

∂u _i (u) die kanonischen Basisfelder auf U , und es ist

g _ij = X _i

X _j , f¨ ur i, j = 1, . . . , k.

Man kann aber auf jeder Mannigfaltigkeit X eine Riemannsche Metrik konstruieren.

Dazu sei (U _ι , ϕ _ι ) eine ¨ Uberdeckung von X durch lokale Karten und (f _ι ) eine dazu passende Teilung der Eins. Dann setzt man

γ _x (v, w) := X

ι

f _ι (x) · (v _ϕ

w _ϕ

),

wobei v _ϕ ∈ R ⁿ die Darstellung von v bez¨ uglich der Karte ϕ ist. Man rechnet leicht nach, dass γ alle Eigenschaften einer Riemannschen Metrik erf¨ ullt.

Definition

Sei X eine n-dimensionale orientierte Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik γ. Unter der Volumenform von X versteht man die eindeutig bestimmte n-Form Ω _X , f¨ ur die

(Ω _X ) _x (u ₁ , . . . , u _n ) = 1

f¨ ur jedes x ∈ X und jede positiv orientierte ON-Basis {u ₁ , . . . , u _n } von T _x (X) ist.

4.1.2. Satz

Ist (U, ϕ) eine positiv orientierte Karte f¨ ur X und ϕ = (x ₁ , . . . , x _n ), so ist Ω _X | _U =

q

det(G _ϕ ) dx ₁ ∧ . . . ∧ dx _n .

Beweis: Weil ϕ positiv orientiert ist, gibt es eine positive Funktion h auf U , so dass gilt:

Ω X | U = h · dx 1 ∧ . . . ∧ dx n .

Setzen wir a _ν := ∂/∂x _ν f¨ ur ν = 1, . . . , n, so ist h(x) = (Ω _X ) _x (a ₁ , . . . , a _n ).

Sei nun {u ₁ , . . . , u _n } eine positiv orientierte ON-Basis von T _x (X) und a _i =

n

X

ν=1

α _iν u _ν , f¨ ur i = 1, . . . , n.

Fassen wir die α _iν zu einer Matrix A e zusammen, so ist det( A) e ² = det( A e ^> · A) = e G(a ₁ , . . . , a _n ) die Gramsche Determinante von a ₁ , . . . , a _n .

Nun ist einerseits (Ω X ) x (a 1 , . . . , a n ) = det A e (und letztere damit positiv), und andererseits ist det G _ϕ (x) = det γ _x (a _i , a _j )

i, j = 1, . . . , n

= G(a ₁ , . . . , a _n ).

Zusammen ergibt dies: h(x) = det( A) = e p

G(a ₁ , . . . , a _n ) = p

det G _ϕ (x).

4.1 Riemannsche Metriken 123

4.1.3. Beispiele

A. Ist U ⊂ R ⁿ offen, so ist U eine orientierte Mannigfaltigkeit mit dem euklidi- schen Skalarprodukt als Riemannsche Metrik, ϕ = id und G ϕ = E n , also

Ω _U = dx ₁ ∧ . . . ∧ dx _n =: dV das klassische

” Volumenelement“ .

Der Tangentialraum T _x ( R ⁿ ) kann mit dem R ⁿ identifiziert werden, und dann ist |v| _γ = kvk.

B. Sei Y ⊂ R ⁿ eine glatte Hyperfl¨ ache, transversal orientiert durch ein Einheits- normalenfeld N. Ist y ∈ Y , so kann man T _y (Y ) als Untervektorraum von T y ( R ⁿ ) ∼ = R ⁿ auffassen. Ist {a 1 , . . . , a n−1 } eine Basis von T y (Y ), so ist

(Ω _Y ) _y (a ₁ , . . . , a _n−1 ) = (a ₁ × . . . × a _n−1 )

N(y) = Λ _N(y) (a ₁ , . . . , a _n−1 ).

Ist N = (N ₁ , . . . , N _n ), so ist (Ω Y ) y = Λ _N(y) = j ^∗

X ⁿ

k=1

N k (−1) ^k+1 dx 1 ∧ . . . dx d k ∧ . . . dx n

,

wenn j : Y , → R ⁿ die kanonische Injektion ist. Man nennt do := Ω Y das Oberfl¨ achenelement von Y .

C. Sei C ⊂ R ⁿ eine glatte Kurve, parametrisiert durch α : I → R ⁿ . Sei x ₀ = α(t ₀ ) ∈ C. Dann ist

α ∗,t

∂

∂t

= α ⁰ (t ₀ ).

Ist ϕ : C → I eine durch α bestimmte Koordinate, so ist q

det G _ϕ (x ₀ ) = p

α ⁰ (t ₀ )

α ⁰ (t ₀ ) = kα ⁰ (t ₀ )k,

also (Ω _C ) _ϕ (t) = kα ⁰ (t)k dt. Man bezeichnet ds := Ω _C auch als Linienele- ment.

Es ist R

C ds = R

I kα ⁰ (t)k dt = L(C) die L¨ ange von C.

Das letzte Beispiel legt die folgende Definition nahe:

Definition

Ist X eine orientierte n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Riemannscher Metrik, so nennt man

vol(X) :=

Z

X

Ω _X

den Inhalt (das Volumen) von X.

Im Falle von 1-dimensionalen Mannigfaltigkeiten (also Kurven) kommt die bekann- te Wegl¨ ange heraus.

4.1.4. Beispiel

Sei Y = S ⁿ⁻¹ (r) = ∂B _r (0) ⊂ R ⁿ . Ist x ∈ Y , so ist N(x) = ¹ _r · x der ¨ außere Normaleneinheitsvektor. Dann folgt mit dem Stokes’schen Satz:

vol n−1 (Y ) = Z

Y

do = Z

∂B

n

X

k=1

1

r x _k (−1) ^k+1 dx ₁ ∧ . . . ∧ d dx _k ∧ . . . ∧ dx _n

(Stokes)

= n

r Z

B

dx ₁ ∧ . . . ∧ dx _n = n

r · vol _n (B _r (0)).

Im Falle n = 2 ist Y eine Kreislinie vom Radius r und vol ₂ (B _r (0)) = r ² π, also vol ₁ (Y ) = 2rπ.

Im Falle n = 3 ist Y eine Sph¨ are vom Radius r und vol ₃ (B _r (0)) = ⁴ ₃ πr ³ , also vol ₂ (Y ) = ³ _r vol ₃ (B _r (0)) = 4πr ² .

Zum Schluss dieses Abschnittes soll gezeigt werden, dass eine Riemannsche Metrik tats¨ achlich eine Metrik im Sinne der Topologie induziert. Aus Zeitgr¨ unden wurde diese Aussage nicht in der Vorlesung bewiesen.

4.1.5. Lemma

Sei U ⊂ R ⁿ offen und γ eine Riemannsche Metrik auf U . Ist K ⊂ U kompakt, so gibt es Konstanten c, C > 0, so dass f¨ ur alle x ∈ K und alle v ∈ T _x ( R ⁿ ) gilt:

c · kvk ≤ |v| γ ≤ C · kvk.

Beweis: Es gibt eine differenzierbare Funktion A : U → M _n ( R ), so dass A(x) stets positiv definit und γ x (v, w) = v

A(x)

w ^> , und |v| γ = v

A(x)

v ^> 1/2

ist.

Sei K ⊂ U kompakt und

L := {(x, v) ∈ U × R ⁿ : x ∈ K und kvk = 1} = K × S ⁿ⁻¹ .

Auch L ist kompakt, und die stetige Funktion N(x, v) := v

A(x)

v ^> 1/2

nimmt auf L ein Maximum und ein positives Minimum an. Also gibt es Konstanten c, C > 0, so dass f¨ ur alle (x, v) ∈ L gilt:

c ≤ N (x, v) ≤ C.

Ist x ∈ K und v ∈ R ⁿ , v 6= 0, so setzen wir λ := kvk. Dann ist (x, λ ⁻¹ v) ∈ L und

N (x, v) = λ · N (x, λ ⁻¹ v) ≤ λ · C = C · kvk,

und analog N (x, v) ≥ c · kvk.

4.1 Riemannsche Metriken 125

4.1.6. Satz

Sei X eine zusammenh¨ angende Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Riemannscher Metrik γ,

d(x, y) := inf{L _γ (α) : α st¨ uckweise differenzierbarer Weg von x nach y}.

Dann ist d eine Metrik, die die vorhandene Topologie induziert.

Beweis: 1) Offensichtlich ist stets d(x, y) ≥ 0 und d(x, x) = 0, sowie d(x, y) = d(y, x).

2) Seien nun x, y, z drei Punkte von X . Ist α ein Weg von x nach y und β ein Weg von y nach z, so ist

d(x, z) ≤ L γ (α + β) = L γ (α) + L γ (β).

Bildet man das Infimum ¨ uber alle α und β, so erh¨ alt man die Dreiecksungleichung d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

3) Sind x 0 , y 0 ∈ X mit x 0 6= y 0 , so ist zu zeigen, dass d(x 0 , y 0 ) > 0 ist.

Wir w¨ ahlen ein Koordinatensystem (U, ϕ) mit x 0 ∈ U und y 0 6∈ U , sowie eine offene Umgebung W = W (x 0 ) ⊂⊂ U . Auf U haben wir eine

” euklidische“ Riemannsche Metrik δ = δ e , durch (δ e ) x (v, w) = (ϕ ∗,x v)

(ϕ ∗,x w) f¨ ur x ∈ U und v, w ∈ T x (X). Nach dem Lemma gibt es Konstanten c, C > 0, so dass gilt:

c · kϕ ∗,x vk ≤ |v| γ ≤ C · kϕ ∗,x vk f¨ ur x ∈ W und v ∈ T x (X).

F¨ ur jede st¨ uckweise stetig differenzierbare Kurve α e in W ist dann c · L δ ( α) e ≤ L γ ( α) e ≤ C · L δ ( α). e Nun sei α : [a, b] → X ein Verbindungsweg von x ₀ nach y ₀ und

t ₀ := inf {t ∈ [a, b] : α(t) 6∈ W }.

Dann liegt α(t 0 ) in ∂W , und α(t) ∈ W f¨ ur a ≤ t ≤ t 0 . Ist α e := α| [a,t

] , so gilt:

L γ (α) ≥ L γ ( α) e ≥ c · L δ ( α) e

≥ c · d δ (x 0 , α(t 0 )) ≥ c · dist δ (x 0 , ∂W ) > 0.

Also muss auch d _γ (x ₀ , y ₀ ) > 0 sein.

4) Sei M ⊂ X offen und p ∈ M . Sei (U, ϕ) ein Koordinatensystem mit p ∈ U ⊂ M . Sei B = B _ε (ϕ(p)) ⊂⊂ ϕ(U) und V := ϕ ⁻¹ (B) ⊂⊂ U. Dann gibt es ein c > 0, so dass d _γ (p, q) ≥ c · d δ (p, q) ≥ c · ε f¨ ur q 6∈ V ist.

Ist also d γ (p, q) < cε, so ist q ∈ V ⊂ U . Das zeigt, dass die metrische Kugel mit Radius cε um p in U und damit in M enthalten ist. Also ist M auch im metrischen Sinne offen.

5) Sei umgekehrt M offen im metrischen Raum (X, d γ ), und p ∈ M . Sei (U, ϕ) ein Koordinaten- system in p und V = V (p) ⊂⊂ U . Versieht man U wie oben mit der euklidischen Metrik δ, so gibt es Konstanten c, C > 0, so dass ckvk ≤ |v| γ ≤ Ckvk f¨ ur x ∈ V und v ∈ T x (X ) ist. Wir k¨ onnen annehmen, dass U im R ⁿ liegt.

Sei ε > 0 so klein, dass W := {x ∈ X : d γ (x, p) < Cε} ⊂ M und V ε := {x ∈ R ⁿ : kx − pk <

ε} ⊂ V ist.

Sei q ∈ V _ε . Ist α die Verbindungsstrecke von p mit q in V _ε , so gilt:

d γ (p, q) ≤ L γ (α) ≤ C · L δ (α) < C · ε.

Also liegt V ε in W ⊂ M , und M ist offen in der gegebenen Topologie von X .

4.2 Stern-Operator und Volumenelement

Sei V ein n-dimensionaler orientierter Vektorraum mit Skalarprodukt, Ω _V die zu- geh¨ orige Volumenform. Durch t(v)(w) := hv , wi wird der kanonische Isomorphis- mus t : V → V ^∗ mit v 7→ t(v ) = λ _v definiert.

4.2.1. Satz

Ist α ∈ A ^p (V ), so gibt es genau ein Element ∗α = ∗ _p α ∈ A ^n−p (V ) mit (∗α)(x ₁ , . . . , x n−p ) · Ω _V = α ∧ t(x ₁ ) ∧ . . . ∧ t(x n−p ) f¨ ur x 1 , . . . , x n−p ∈ V .

Beweis: Zu jedem (n − p)-Tupel (x ₁ , . . . , x n−p ) ∈ V × . . . × V gibt es genau eine reelle Zahl a = a(x ₁ , . . . , x n−p ), so dass α ∧ t(x ₁ ) ∧ . . . ∧ t(x n−p ) = a · Ω _V ist. Also kann man

(∗α)(x ₁ , . . . , x n−p ) := a

setzen. Da die Zuordnung (x ₁ , . . . , x n−p ) 7→ α ∧ t(x ₁ ) ∧ . . . ∧ t(x n−p ) multilinear und alternierend ist, gilt das auch f¨ ur ∗α.

Sei {a ₁ , . . . , a _n } eine positiv orientierte ON-Basis von V und {α ¹ , . . . , α ⁿ } die duale Basis, also Ω _V = α ¹ ∧ . . . ∧ α ⁿ . Dann folgt:

4.2.2. Satz

Sind I = (i ₁ , . . . , i _p ) und J = (j ₁ , . . . , j n−p ) Multiindizes mit 1 ≤ i ₁ < . . . < i _p ≤ n, 1 ≤ j ₁ < . . . < j n−p ≤ n und I ∪ J = {1, . . . , n}, so gilt:

∗(α ⁱ

∧ . . . ∧ α ⁱ

) = δ(i 1 , . . . , i p , j 1 , . . . , j n−p ) · α ^j

∧ . . . ∧ α ^j

.

Beweis: Zur Abk¨ urzung sei δ(I, J) = δ(i ₁ , . . . , i _p , j ₁ , . . . , j n−p ).

Weil die a i eine ON-Basis bilden, ist t(a i ) = α ⁱ , f¨ ur i = 1, . . . , n. Damit folgt:

(α ⁱ

∧ . . . ∧ α ⁱ

) ∧ t(a _j

) ∧ . . . ∧ t(a _j

) =

= α ⁱ

∧ . . . ∧ α ⁱ

∧ α ^j

∧ . . . ∧ α ^j

=

δ(I, J) · Ω _V falls I ∩ J = ∅ ,

0 sonst.

Damit ist ∗(α ⁱ

∧ . . . ∧ α ⁱ

)(a _j

, . . . , a _j

) =

δ(I, J) falls I ∩ J = ∅ ,

0 sonst ,

also ∗(α ⁱ

∧ . . . ∧ α ⁱ

) = δ(I, J)α ^j

∧ . . . ∧ α ^j

.

4.2 Stern-Operator und Volumenelement 127

4.2.3. Folgerung

Ist α eine p-Form, so ist ∗ ∗ α = (−1) ^p(n−p) α.

Beweis: Es reicht, die Aussage f¨ ur Formen vom Typ α ^I := α ⁱ

∧ . . . ∧ α ⁱ

zu beweisen. Sei I ∪ J = {1, . . . , n}. Dann ist

∗ ∗ (α ^I ) = δ(I, J ) · ∗α ^J = δ(I, J)δ(J, I )α ^I . Andererseits ist α ^I ∧ α ^J = (−1) ^p(n−p) α ^J ∧ α ^I . Damit folgt:

δ(J, I ) = (−1) ^p(n−p) δ(I, J).

4.2.4. Folgerung

Die lineare Abbildung ∗ = ∗ _p : A ^p (V ) → A ^n−p (V ) ist ein Isomorphismus, mit

∗ ⁻¹ _p = (−1) ^p(n−p) ∗ n−p .

Bemerkung: Ist n = dim(V ) ungerade, so ist ∗ ⁻¹ _p = ∗ n−p , f¨ ur jedes p.

Ist n gerade, so ist ∗ ⁻¹ _p = (−1) ^p ∗ n−p .

4.2.5. Satz

Sind α, β ∈ A ^p (V ), so ist α ∧ (∗β) = β ∧ (∗α).

Beweis: Sei zun¨ achst α = α ^I und β = α ^K . Ist K ∪ L = {1, . . . , n} und I ∪ J = {1, . . . , n}, so gilt:

α ∧ ∗β = α ^I ∧ ∗α ^K = α ^I ∧ δ(K, L)α ^L

=

0 falls K 6= I,

δ(I, J )α ^I ∧ α ^J = Ω _V falls K = I.

Die Berechnung von β ∧ ∗α liefert das gleiche Ergebnis.

Ist α = X

I

a _I α ^I und β = X

J

b _K α ^K , so ist α ∧ ∗β = X

I

a _I b _I

Ω _V . Speziell ist α ∧ ∗α = X

I

a ² _I Ω _V .

Wir halten weiterhin eine positiv orientierte ON-Basis {a ₁ , . . . , a _n } von V und die zugeh¨ orige duale Basis {α ¹ , . . . , α ⁿ } von V ^∗ fest. Sei g _ij := ha _i , a _j i. Die Matrix G = g _ij : i, j = 1, . . . , n

ist symmetrisch und positiv definit, also insbesondere

invertierbar. Sei G ⁻¹ = (g ^kl ) die inverse Matrix zu G.

Sei v =

n

X

i=1

v ⁱ a _i ∈ V . Die Indizes bei den

” kontravarianten“ Komponenten v ⁱ sind bewusst hochgestellt. Hat die zugeordnete Linearform t(v) = λ v die Gestalt λ _v =

n

X

ν=1

v _ν α ^ν (mit

” tiefgestellten“ Indizes v _ν ), so gilt:

v _ν = λ _v (a _ν ) = hv , a _ν i =

n

X

i=1

v ⁱ ha _i , a _ν i =

n

X

i=1

g _νi v ⁱ (weil g _iν = g _νi ist).

Andererseits ist

n

X

µ=1

g ^kµ v _µ =

n

X

µ=1

X ⁿ

i=1

g _µi v ⁱ

=

n

X

i=1

X ⁿ

µ=1

g ^kµ g _µi v ⁱ =

n

X

i=1

δ _ki v ⁱ = v ^k .

In der Physik l¨ asst man an dieser Stelle gerne die Summenzeichen weg. Die Proze- duren

v _ν = g _νi v ⁱ und v ^k = g ^kµ v _µ bezeichnet man als

” Herunter- und Heraufziehen der Indizes“. Die Koeffizienten v _ν nennt man die

” kovarianten Komponenten“ von v.

Der Sternoperator kann w¨ ortlich auf Mannigfaltigkeiten ¨ ubertragen werden:

Definition

Sei X eine n-dimensionale orientierbare zusammenh¨ angende Riemannsche Man- nigfaltigkeit, mit fest gew¨ ahlter Orientierung, Riemannscher Metrik γ und Volu- menelement Ω X .

Ist α ∈ Ω ^p (X), so gibt es genau eine Differentialform ∗α ∈ Ω ^n−p (X), so dass f¨ ur alle Vektorfelder ξ ₁ , . . . , ξ n−p auf X gilt:

(∗α)(ξ 1 , . . . , ξ n−p ) · Ω X = α ∧ t(ξ 1 ) ∧ . . . ∧ t(ξ n−p ).

Dabei ist t : X (X) → Ω ¹ (X) der durch t(ξ)(η) = γ(ξ, η) definierte Isomorphis- mus.

Wie in Vektorr¨ aumen folgt, dass ∗ = ∗ _p : Ω ^p (X) → Ω ^n−p (X) ein Isomorphismus mit ∗ ⁻¹ _p = (−1) ^p(n−p) ∗ _n−p ist. Und f¨ ur α, β ∈ Ω ^p (X) ist α ∧ (∗β) = β ∧ (∗α).

4.2.6. Satz

Ist X zus¨ atzlich kompakt, so wird durch hα , βi _p :=

Z

X

α ∧ ∗β (f¨ ur α, β ∈ Ω ^p (X))

ein Skalarprodukt auf Ω ^p (X) definiert.

4.2 Stern-Operator und Volumenelement 129

Beweis: Offensichtlich ist h. . . , . . .i _p eine symmetrische Bilinearform. Und weil α ∧ ∗α = h Ω _X mit einer positiven Funktion h ist, ist sie auch positiv definit.

4.2.7. Folgerung

Ist X kompakt, so ist ∗ _p eine Isometrie, d.h., es ist h∗α , ∗βi n−p = hα , βi _p . Beweis: Sind α, β ∈ Ω ^p (X), so gilt:

h∗α , ∗βi = Z

X

(∗α) ∧ (∗ ∗ β) = (−1) ^p(n−p) Z

X

(∗α) ∧ β

= Z

X

β ∧ (∗α) = hβ , αi = hα , βi.

Definition

Sei X eine orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit. Das Codifferential δ = δ _p : Ω ^p (X) → Ω ^p−1 (X)

wird definiert durch δ := (−1) ^n(p+1)+1 ∗ d ∗ .

4.2.8. Satz

Ist X kompakt, ϕ ∈ Ω ^p−1 (X) und ψ ∈ Ω ^p (X), so ist hdϕ , ψi = hϕ , δψi . Beweis: Sei σ _p : Ω ^p (X) → Ω ^p (X) definiert durch σ _p (α) := (−1) ^np+p · α. Dann ist σ n−p = σ _p und deshalb ∗ _p ◦ σ _p = σ n−p ◦ ∗ _p , sowie ∗ n−p ◦ ∗ _p = σ _p .

F¨ ur ω ∈ Ω ^n−p+1 (X) ist daher

(−1) ^p ω = (−1) ^p ∗ ∗ σ _n−p+1 ω = (−1) p+n(p−1)+(p−1) ∗ ∗ ω = (−1) ^n(p+1)+1 ∗ ∗ ω.

Mit dem Satz von Stokes folgt nun:

hdϕ , ψi = Z

X

dϕ ∧ ∗ ψ = Z

X

d(ϕ ∧ ∗ ψ) − (−1) ^p−1 ϕ ∧ d ∗ ψ

= (−1) ^p Z

X

ϕ ∧ d ∗ ψ = Z

X

ϕ ∧ (−1) ^n(p+1)+1 ∗ ∗ d ∗ ψ

= Z

X

ϕ ∧ ∗ δψ = hϕ , δψi.

Die Definition des Codifferentials ist in der Literatur nicht einheitlich. Hier ist es

als adjungierter Operator zu d festgelegt.

Definition

Sei X eine orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit und t : X (X) → Ω ¹ (X) der kanonische Isomorphismus. Dann definiert man:

1. Ist f eine differenzierbare Funktion auf X, so heißt

∇f = grad f := t ⁻¹ (df ) der Gradient von f .

2. Ist ξ ein Vektorfeld auf X, so heißt die Funktion div ξ := −δ(tξ) die Divergenz von ξ.

3. Ist dim X = 3 und ξ ein Vektorfeld auf X, so nennt man rot ξ := t ⁻¹ ∗ d(tξ)

die Rotation von ξ.

Ist η ein weiteres Vektorfeld auf X, so nennt man ξ × η := t ⁻¹ ∗ (tξ ∧ tη) das Vektorprodukt von ξ und η.

Im Falle X = R ⁿ ist ∇f = ∂f

∂x ₁ , . . . , ∂f

∂x _n .

Weil δ = − ∗ d∗ im Falle p = 1 ist, folgt außerdem im R ⁿ : div(ξ ₁ , . . . , ξ _n ) = ∗ d ∗ (ξ ₁ dx ₁ + · · · + ξ _n dx _n )

= ∗ d X ⁿ

i=1

ξ _i (−1) ⁱ⁻¹ dx ₁ ∧ . . . ∧ dx c _i ∧ . . . ∧ dx _n

= ∗ X ⁿ

i=1

∂ξ i

∂x _i dx ₁ ∧ . . . ∧ dx _n

=

n

X

i=1

∂ξ i

∂x _i .

Nebenbei haben wir hier (im R ⁿ ) auch folgende Formeln bewiesen:

∗ t(ξ) =

n

X

i=1

ξ _i (−1) ⁱ⁻¹ dx ₁ ∧ . . . ∧ dx c _i ∧ . . . ∧ dx _n = Λ _ξ

und

4.2 Stern-Operator und Volumenelement 131

div ξ = ∗dΛ _ξ . Ist n = 3, so ist

rot(ξ ₁ , ξ ₂ , ξ ₃ ) = t ⁻¹ ∗ d(ξ ₁ dx ₁ + ξ ₂ dx ₂ + ξ ₃ dx ₃ )

= t ⁻¹ ∗ ∂ξ ₃

∂x 2

− ∂ξ ₂

∂x 3

dx ₂ ∧ dx ₃ + ∂ξ ₃

∂x 1

− ∂ξ ₁

∂x 3

dx ₁ ∧ dx ₃ + ∂ξ 2

∂x ₁ − ∂ξ 1

∂x ₂

dx ₁ ∧ dx ₂

= t ⁻¹ ∂ξ ₃

∂x 2

− ∂ξ ₂

∂x 3

dx ₁ + ∂ξ ₁

∂x 3

− ∂ξ ₃

∂x 1

dx ₂ + ∂ξ ₂

∂x 1

− ∂ξ ₁

∂x 2

dx ₃

= ∂ξ ₃

∂x ₂ − ∂ξ ₂

∂x ₃ , ∂ξ ₁

∂x ₃ − ∂ξ ₃

∂x ₁ , ∂ξ ₂

∂x ₁ − ∂ξ ₁

∂x ₂

.

Im R ³ ist außerdem ∗ ∗ α = α f¨ ur jede 1-Form und jede 2-Form, und deshalb

∗ Λ _η = tη. Also ist t ⁻¹ ∗ Λ _{rot ξ} = rot ξ = t ⁻¹ ∗ d(tξ). Daraus folgt:

Λ _{rot ξ} = d(tξ) (im R ³ ).

Weil ∗ und t Isomorphismen sind, gilt: Ist Λ _ξ = Λ _η , so ist ξ = η.

4.2.9. Formeln der klassischen Vektoranalysis

Im R ³ sei f eine differenzierbare Funktion, ξ und η Vektorfelder. Dann gilt:

1. rot grad f = 0.

2. div rot ξ = 0.

3. rot(f · ξ) = f · rot(ξ) + grad f × ξ.

4. div(ξ × η) = rot ξ

η − ξ

rot η.

5. div(f · ξ) = grad f

ξ + f · div ξ.

Beweis: 1) 0 = ddf = d t(grad f )

= Λ _{rot grad f} , also rot grad f = (0, 0, 0).

2) 0 = dd t(ξ)

= d(Λ _{rot ξ} ) = (div rot ξ)dV , also div rot A = 0.

3) Es ist

Λ _rot(f ·ξ) = d t(f · ξ)

= d f · t(ξ)

= df ∧ t(ξ) + f · d t(ξ)

= t(grad f ) ∧ t(ξ) + f · Λ _{rot ξ}

= Λ _{gradf ×ξ} + Λ _{f ·rot ξ}

= Λ _{gradf ×ξ+f·rot ξ} .

4)

(div(ξ × η))dV = d(Λ ξ×η )

= d t(ξ) ∧ t(η)

= dt(ξ) ∧ t(η) − t(ξ) ∧ dt(η)

= Λ _{rot ξ} ∧ t(η) − t(ξ) ∧ Λ _{rot η}

= (rot ξ

η − ξ

rot η)dV, denn es ist tξ ∧ Λ _η = (ξ

η) dV .

5) Schließlich gilt:

(div(f · ξ))dV = d(Λ _f ·ξ ) = d(f · Λ _ξ )

= df ∧ Λ _ξ + f · dΛ _ξ

= t(grad f) ∧ Λ _ξ + f · (div ξ)dV

= (grad f

ξ + f · div ξ)dV.

Auf Mannigfaltigkeiten sehen die Differentialoperatoren etwas anders aus.

In einem Vektorraum V mit Skalarprodukt h. . . , . . .i wird jedem Vektor v ∈ V kanonisch eine Linearform λ _v ∈ V ^∗ durch λ _v (w) = hv , wi zugeordnet. Das

¨ ubertr¨ agt sich auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten in Form des Isomorphismus t : X (X) → Ω ¹ (X). Es ist also tξ(η) = γ(ξ, η), und daher

γ (∇f, η) = γ(t ⁻¹ df, η) = t(t ⁻¹ df)(η) = df (η) = L ξ (f).

Die kovarianten Komponenten von ξ = ∇f sind die Koeffizienten ξ j = ∂f

∂x _j von df.

Dementsprechend sind die kontravarianten Komponenten ξ ⁱ von ξ gegeben durch ξ ⁱ = P n

j=1 g ^ij ξ _j = P n

j=1 g ^ji ξ _j , und in lokalen Koordinaten ist

∇f = X ⁿ

j=1

g ^{j 1} ∂f

∂x _j , . . . ,

n

X

j=1

g ^{j n} ∂f

∂x _j

.

Im V haben wir auch jedem Vektor v eine alternierende (n−1)-Form Λ _v zugeordnet, und das l¨ asst sich ebenso auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten verallgemeinern.

4.2.10. Satz

Zu jedem Vektorfeld ξ auf X gibt es eine eindeutig bestimmte (n − 1)-Form Λ _ξ auf X mit

t(η) ∧ Λ _ξ = γ(η, ξ) · Ω _X .

Ist ϕ = (x 1 , . . . , x n ) ein lokales Koordinatensystem, so ist

4.2 Stern-Operator und Volumenelement 133

(Λ _ξ ) _ϕ = p

det G _ϕ ·

n

X

k=1

ξ ^k (−1) ^k+1 dx ₁ ∧ . . . ∧ d dx _k ∧ . . . ∧ dx _n .

Beweis: Die Eindeutigkeit ergibt sich wie folgt: Ist Λ _ξ mit der gew¨ unschten Eigenschaft gegeben und

Λ ξ =

n

X

k=1

a k dx 1 ∧ . . . ∧ d dx k ∧ . . . ∧ dx n ,

so ist einerseits

dx i ∧ Λ ξ = (−1) ⁱ⁺¹ a i dx 1 ∧ . . . ∧ dx n

und andererseits t ⁻¹ (dx ⁱ ) = (g ⁱ¹ , . . . , g ⁱⁿ ), also γ(t ⁻¹ (dx _i ), ξ) Ω _X = X

k,l

g ^ik g _kl ξ ^l

· Ω _X = ξ ⁱ · p

det G _ϕ dx ₁ ∧ . . . ∧ dx _n .

Daraus folgt: a _i = p

det G _ϕ (−1) ⁱ⁺¹ ξ ⁱ .

Ist umgekehrt Λ _ξ so gegeben und η = (η ¹ , . . . , η ⁿ ), so ist t(η) =

n

X

k=1

X ⁿ

i=1

g _ik η ⁱ

dx _k ,

also

t(η) ∧ Λ _ξ = X

i,k

g _ik η ⁱ ξ ^k · p

det G _ϕ dx ₁ ∧ . . . ∧ dx _n

= γ(η, ξ) Ω _X Das zeigt die Existenz.

4.2.11. Satz

Ist g := det G _ϕ , so hat die Divergenz in lokalen Koordinaten die Gestalt div ξ = 1

√ g

n

X

k=1

∂( √ g ξ ^k )

∂x _k ,

und es gilt die Formel d(Λ _ξ ) = (div ξ) Ω _X . Beweis: Es ist

d(Λ ξ ) =

n

X

k=1

∂ ( √ g ξ ^k )

∂x _k dx 1 ∧ . . . ∧ dx n = 1

√ g

n

X

k=1

∂ ( √ g ξ ^k )

∂x _k Ω X .

Auf der anderen Seite ist div ξ = ∗d ∗ (tξ), und das muss man Schritt f¨ ur Schritt ausrechnen. Nach Definition ist zun¨ achst

∗(dx ₁ ∧ . . . ∧ dx c _i ∧ . . . ∧ dx _n ) ∂

∂x k

· Ω _X = dx ₁ ∧ . . . ∧ dx c _i ∧ . . . ∧ dx _n ∧ t ∂

∂x k

= g _ik dx ₁ ∧ . . . ∧ dx c _i ∧ . . . ∧ dx _n ∧ dx _i

= (−1) ⁿ⁻ⁱ 1

√ g g ik Ω X

Also ist

∗(dx ₁ ∧ . . . ∧ dx c _i ∧ . . . ∧ dx _n ) =

n

X

k=1

(−1) ⁿ⁻ⁱ 1

√ g g _ik dx _k

und – weil ∗ ∗ α = (−1) ⁿ⁻¹ α auf Ω ⁿ⁻¹ (X) ist – dx ₁ ∧ . . . ∧ dx c _i ∧ . . . ∧ dx _n =

n

X

k=1

(−1) ⁱ⁺¹ 1

√ g g _ik ∗ dx _k .

Multipliziert man beide Seiten mit g ^νi und addiert ¨ uber i, so erh¨ alt man:

∗dx _ν =

n

X

i=1

(−1) ⁱ⁺¹ √

g g ^νi dx ₁ ∧ . . . ∧ dx c _i ∧ . . . ∧ dx _n .

Damit ist

∗tξ =

n

X

ν=1

ξ _ν ∗ dx _ν =

n

X

ν=1 n

X

i=1

(−1) ⁱ⁺¹ √

g g ^νi ξ _ν dx ₁ ∧ . . . ∧ dx c _i ∧ . . . ∧ dx _n

=

n

X

i=1

(−1) ⁱ⁺¹ √

g ξ ⁱ dx ₁ ∧ . . . ∧ dx c _i ∧ . . . ∧ dx _n

und

d ∗ tξ =

n

X

i=1

(−1) ⁱ⁺¹

n

X

µ=1

∂( √ g ξ ⁱ )

∂x _µ dx _µ ∧ dx ₁ ∧ . . . ∧ dx c _i ∧ . . . ∧ dx _n

= 1

√ g

n

X

i=1

∂( √ g ξ ⁱ )

∂x _i · Ω _X . Weil ∗(f Ω _X ) = f ist, folgt die Behauptung.

Bemerkung: Im R ⁿ ist g = 1 und es kommen die bekannten Formeln heraus.

Ist G ⊂ R ⁿ ein Gebiet und ϕ : G → G e ⊂ R ⁿ ein Diffeomorphismus, so kann man G e als parametrisierte Mannigfaltigkeit auffassen. Als Beispiel seien die ebenen Polarkoordinaten genannt:

ϕ(r, θ) = (x(r, θ), y(r, θ)) = (r cos θ, r sin θ).