In der Vorlesung wurde gezeigt, dass die solaren Korona nicht im hydrostatischen Gleichgewicht sein kann, falls die radiale Abh¨ angigkeit der Temperatur T (r) ∝ r

Einf¨ uhrung in die Theoretische Astrophysik

WS 18/19 Hausaufgabenblatt I Abgabe bis 25.10., 14:00 Uhr

In der Vorlesung wurden die hydrodynamischen Grundgleichungen entwickelt und eine hydrodyna- mische Beschreibung der Korona vorgenommen, nachdem erkannt wurde, dass diese nicht durch ein hydrostatisches Gleichgewicht beschrieben werden kann.

Aufgabe 1:

In der Vorlesung wurde gezeigt, dass die solaren Korona nicht im hydrostatischen Gleichgewicht sein kann, falls die radiale Abh¨ angigkeit der Temperatur T (r) ∝ r

mit α ≤ 1.

Unter der Annahme dominierender (Elektronen-)W¨ armeleitung bedeutet dies die G¨ ultigkeit der Gleichung:

d dr

r

T

dT dr

= 0

in der T die von der heliozentrischen Entfernung r abh¨ angige Temperatur bezeichnet. Statt einer W¨ armequelle bei r = r

(beschreibbar z.B. per δ-Funktion auf der rechten Seite obi- ger Gleichung) l¨ asst sich das Problem durch Aufteilen des r-Intervalls und Einf¨ uhrung einer zus¨ atzlichen Randbedingung formulieren.

L¨ osen Sie dazu die obige Differentialgleichung (a) auf dem Intervall [R , r

] mit den Randbe- dingungen T (R

) = 0 und T (r

) = T

sowie (b) auf dem Intervall [r

, ∞] mit den Randbedin- gungen T (r

) = T

und T (r = ∞) = 0 und leiten Sie so das Temperaturprofil

T (r) =



 



 

 T

r

r

r − R

r

− R

; R

≤ r ≤ r

T

r

r

; r

≤ r her.

Aufgabe 2:

Mit der aus der Vorlesung bekannten Maxwell’schen Geschwindigkeitsverteilung lassen sich verschiedene Geschwindigkeiten definieren.

(a) Berechnen Sie die mittlere thermische Geschwindigkeit c.

(b) Bestimmen Sie die quadratisch gemittelte thermische Geschwindigkeit p c

.

(c) Vergleichen Sie die in (a) und (b) berechneten Geschwindigkeiten mit der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit c

= p

2kT /m in dem Sie in ein (c, h(c))-Diagramm eintragen, wobei h(c) = 4πg(~ v)v

(mit den Bezeichnungen aus der Vorlesung).

(d) Sch¨ atzen Sie die zuvor bestimmten Geschwindigkeiten (z.B. in m/s) f¨ ur Wasserstoff bei

einer Temperatur von 1000 K ab.

Aufgabe 3:

Eugene Norman Parker (geb. 1927) hat nicht nur zum Thema Sternwind geforscht, sondern auch die Transport- gleichung energie- reicher Teilchen formuliert.

In der Vorlesung wurde ausgehend von den hydrodynamischen Grund- gleichungen

∂ρ

∂t + ∇ · ~ (ρ ~ u) = 0 ρ ∂~ u

∂t + ρ

~ u · ∇ ~

~

u = − ∇p ~ − GM ρ r

~ e

, die sogenannte Parkerl¨ osung f¨ ur den Sternwind hergeleitet:

1 u

du

dr = Z (r) N (u) mit

Z(r) = 4kT

mr − GM r

N (u) =

u

− 2kT m

(a) Anhand der Bedingung, dass im Falle eines verschwindenden Nenners N (u) der Z¨ ahler Z (r) ebenfalls gleich Null sein muss, machen Sie sich erneut klar, dass der Sternwind am Ort r

mit der Schallgeschwindigkeit u

str¨ omt.

(b) Neben der Eruierung der prinzipiellen L¨ osungstopologie (siehe Vorlesung) kann man die Differentialgleichung f¨ ur u(r) auch rein rechnerisch untersuchen. Um die allgemeine L¨ osung herzuleiten, separieren Sie die Geschwindigkeit u sowie deren Ableitung du/dr vom heliozentri- schen Abstand r und multiplizieren Sie die resultierende Gleichung mit dem Faktor −m/2kT . (c) Weisen Sie nach, dass die anschließende (unbestimmte) Integration formal zun¨ achst auf die folgende Gleichung f¨ uhrt:

ln u

− u

u

= −4 r

r + ln r + C

(d) Diese L¨ osung beinhaltet scheinbar dimensionsbehaftete Gr¨ oßen im Argument der Logarith- musfunktion. Dieses Problem k¨ onnen Sie beheben, indem Sie die Integrationskonstante zun¨ achst so w¨ ahlen, dass dort stattdessen Ausdr¨ ucke auftauchen, die auf die kritische Geschwindigkeit u

bzw. auf den kritischen Abstand r

normiert sind.

(e) Um letztlich die implizite L¨ osung f¨ ur die Sternwindstr¨ omung bestimmen zu k¨ onnen, gilt es

nun noch, die modifizierte Integrationskonstante ˜ C zu bestimmen. Nutzen Sie dazu aus, dass

die Windl¨ osung durch den Punkt u(r

) = u

verl¨ auft.