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Zeigen Sie, dass die beiden folgenden Unterr¨ aume des R

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Academic year: 2021

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(1)

Dr. Erwin Sch¨ orner

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15):

Lineare Algebra und analytische Geometrie 4

4.1 (Fr¨ uhjahr 2007, Thema 1, Aufgabe 1)

Zeigen Sie, dass die beiden folgenden Unterr¨ aume des R

3

¨ ubereinstimmen:

U =

* 

 1 2 3

 ,

 3 2 1

 +

, V =

* 

 4 5 6

 ,

 6 5 4

 +

.

4.2 (Fr¨ uhjahr 2001, Thema 2, Aufgabe 1)

Gegeben seien die folgenden Unterr¨ aume des R

3

:

U := span

 1 2 3

 ,

 1 1 1

, V := span

 1 5 6

 ,

 1 0 1

 .

Bestimmen Sie eine Basis von U ∩ V . 4.3 (Fr¨ uhjahr 2000, Thema 2, Aufgabe 1) Gegeben seien die beiden Unterr¨ aume

U := R ·

 1 2 3

 + R ·

 1 1 0

 und V := R ·

 1 1 2

 + R ·

 1 0

−1

im R

3

. Bestimmen Sie eine Basis des Unterraums U ∩ V . 4.4 (Fr¨ uhjahr 2011, Thema 2, Aufgabe 1)

Es sei V ⊂ R

4

der von den Vektoren

v

1

=

 1 2 3 4

, v

2

=

 2 3 4 1

, v

3

=

 1 3 5 3

, v

4

=

 1 1 1 1

erzeugte Unterraum. Zeigen Sie, dass V den Vektor

v =

 3 5 7 1

enth¨ alt und bestimmen Sie die Dimension von V .

(2)

4.5 (Fr¨ uhjahr 2000, Thema 3, Aufgabe 1) Gegeben seien die Vektoren

u =

 1 0 1 0

, v =

 1

−1 1

−1

, w =

 3 1 2

−2

, x =

−1

−2 0 1

∈ R

4

.

a) Zeigen Sie, dass u, v, w und x in einem Untervektorraum U ⊆ R

4

, U 6= R

4

, enthalten sind.

b) Geben Sie eine lineare Gleichung an, deren L¨ osungsmenge der Untervektor- raum U ist.

4.6 (Herbst 2013, Thema 1, Aufgabe 5)

Es sei a ∈ R gegeben. Weiter sei U

a

der von den folgenden Vektoren aufgespannte Untervektorraum von R

5

:

 1

−1 0 0 1

 ,

 1 1 0 1 1

 ,

 1 0 0

−1 a

 ,

 1 2 0 0 0

 .

a) Bestimmen Sie in Abh¨ angigkeit von a eine Basis von U

a

.

b) Erg¨ anzen Sie jeweils die Basis von U

a

aus a) zu einer Basis von R

5

. 4.7 (Herbst 2002, Thema 1, Aufgabe 2)

Gegeben seien die Vektoren u

1

=

 1 0 1 0

 , u

2

=

−1 2 0 1

 , u

3

=

 1 2 2 1

des R

4

.

U sei der von u

1

, u

2

und u

3

aufgespannte Unterraum des R

4

. W ⊂ R

4

sei die L¨ osungsmenge des linearen Gleichungssystems

x

2

− x

3

+ 7 x

4

= 0 x

1

− 2 x

2

− 4 x

4

= 0

a) Bestimmen Sie eine Basis B

U

von U und eine Basis B

W

von W . b) Bestimmen Sie die Dimension von U ∩ W und von U + W .

c) Erg¨ anzen Sie B

U

zu einer Basis von U + W . 4.8 (Fr¨ uhjahr 2011, Thema 1, Aufgabe 5)

Im Vektorraum der reellen Polynome seien die folgenden Teilmengen gegeben:

U

1

=

P : P (x) = a x

2

+ b x + c mit a, b, c ∈ R , U

2

=

P : P (x) = a x

2

+ b x mit a, b ∈ R , U

3

= {P : P (x) ≡ 0 oder Grad(P ) ≥ 2} , U

4

=

P : P (x) = a x

2

+ b x + c mit a, b, c ∈ R und c 6= 0 .

Uberpr¨ ¨ ufen Sie, welche dieser Teilmengen einen linearen Unterraum bilden.

(3)

4.9 (Herbst 2009, Thema 2, Aufgabe 2)

Es sei V der R –Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad ≤ 2. Die Teilmenge U := {p ∈ V | p(x) = p(1 − x)}

ist ein linearer Unterraum von V . a) Bestimmen Sie eine Basis von U .

b) Erg¨ anzen Sie die Basis von U aus a) zu einer Basis von V . 4.10 (Herbst 2011, Thema 1, Aufgabe 1)

Im R –Vektorraum V aller Polynome mit reellen Koeffizienten seien u

1

= X

3

+ X

2

, u

2

= X

2

+ X und u

3

= X + 1 sowie

w

1

= X

3

− X

2

+ X und w

2

= X

2

− X + 1

gegeben; ferner seien U = hu

1

, u

2

, u

3

i und W = hw

1

, w

2

i die von u

1

, u

2

, u

3

bzw. von w

1

, w

2

erzeugten Unterr¨ aume von V . Man bestimme eine Basis des Unterraums U ∩ W .

4.11 (Fr¨ uhjahr 2001, Thema 3, Aufgabe 1)

Im Vektorraum der reellen 2 × 2–Matrizen seien die linearen Unterr¨ aume M :=

u v

−v w

: u, v, w ∈ R

, N :=

x 0 y 0

: x, y ∈ R

gegeben. Bestimmen Sie R –Basen von M , N , M ∩ N und M + N . 4.12 (Fr¨ uhjahr 2004, Thema 3, Aufgabe 1)

Gegeben sei die reelle 2 × 2–Matrix

A = 1 1

1 1

.

Weiter sei C die Menge aller reellen Matrizen

X =

x

1

x

2

x

3

x

4

mit A · X = X · A.

a) Dr¨ ucken Sie die Beziehung A · X = X · A als homogenes lineares Gleichungs- system in x

1

, x

2

, x

3

, x

4

aus und bestimmen Sie f¨ ur dieses Gleichungssystem die Dimension des L¨ osungsraums.

b) Zeigen Sie:

C =

λ A + µ

1 0 0 1

: λ, µ ∈ R

.

(4)

4.13 (Herbst 2005, Thema 2, Aufgabe 3) Im reellen Vektorraum R

3×3

sei

U =

A ∈ R

3×3

| A

>

= A und Spur(A) = 0 . a) Zeigen Sie, dass U ein Untervektorraum von R

3×3

ist.

b) Bestimmen Sie die Dimension von U . c) Zeigen Sie, dass

A

1

=

1 0 0

0 −1 0

0 0 0

 und A

2

=

0 −1 1

−1 0 0

1 0 0

in U liegen und linear unabh¨ angig sind. Erg¨ anzen Sie {A

1

, A

2

} zu einer Basis von U.

4.14 (Herbst 2008, Thema 1, Aufgabe 2)

a) Es seien W

1

und W

2

Untervektorr¨ aume eines reellen Vektorraums V . Wie lautet die Dimensionsformel f¨ ur Summe W

1

+W

2

und Durchschnitt W

1

∩W

2

? b) Welche Dimension kann W

1

∩ W

2

haben, wenn dim W

1

= dim W

2

= 3 und V = R

5

ist? Belegen Sie jeden m¨ oglichen Wert von dim (W

1

∩ W

2

) durch ein Beispiel.

4.15 (Fr¨ uhjahr 2003, Thema 1, Aufgabe 1)

Welche Dimension kann der Durchschnitt eines dreidimensionalen und eines vier- dimensionalen Untervektorraums in einem sechsdimensionalen Vektorraum ha- ben?

4.16 (Herbst 2009, Thema 3, Aufgabe 2)

Es seien v und w linear unabh¨ angige Vektoren in einem R –Vektorraum V , sowie α und β zwei reelle Zahlen. Zeigen Sie: Die Vektoren x = αv + βw und y = βv + αw sind genau dann linear abh¨ angig, wenn α = β oder α = −β.

4.17 (Fr¨ uhjahr 1999, Thema 1, Aufgabe 1)

Es sei {b

1

, b

2

, b

3

, b

4

} eine Basis des Vektorraums V ¨ uber dem K¨ orper R . Weiter seien Vektoren a

i

∈ V gegeben durch

a

1

= b

1

+ β

1

· b

3

, a

2

= b

2

+ β

2

· b

4

, a

3

= β

3

· b

1

+ b

3

, a

4

= β

4

· b

2

+ b

4

, wobei β

1

, β

2

, β

3

und β

4

feste reelle Zahlen sind. Zeigen Sie, dass {a

1

, a

2

, a

3

, a

4

} genau dann eine Basis von V ist, wenn

(1 − β

1

β

3

) (1 − β

2

β

4

) 6= 0.

(5)

4.18 (Fr¨ uhjahr 2009, Thema 2, Aufgabe 1)

Es sei B = {b

1

, b

2

, b

3

, b

4

} eine Basis des R –Vektorraums V . Ferner seien a

1

= 2 b

1

− b

2

, a

2

= b

2

+ b

3

+ b

4

, a

3

= b

3

− b

4

und U = span {a

1

, a

2

, a

3

} der von a

1

, a

2

, a

3

aufgespannte Unterraum.

a) Zeigen Sie, dass A = {a

1

, a

2

, a

3

} eine Basis von U ist.

b) Zeigen Sie, dass x = 6 b

1

− 5 b

2

− 4 b

4

in U liegt und bestimmen Sie die Koordinaten von x bez¨ uglich A.

c) Erg¨ anzen Sie A zu einer Basis von V . 4.19 (Fr¨ uhjahr 2006, Thema 3, Aufgabe 2)

Es seien v

1

, v

2

, v

3

, v

4

vier linear unabh¨ angige Vektoren in einem R –Vektorraum.

Weiter sei U der von

u

1

:= v

1

+ v

2

, u

2

:= v

2

+ v

3

, u

3

:= v

3

+ v

4

aufgespannte Untervektorraum und W der von

w

1

:= v

1

− v

2

, w

2

:= v

2

− v

3

aufgespannte Untervektorraum. Bestimmen Sie die Dimensionen der Untervek- torr¨ aume U , W , U ∩ W und geben Sie eine Basis von U ∩ W an.

4.20 (Fr¨ uhjahr 2002, Thema 3, Aufgabe 1)

Es seien a, b, c und d linear unabh¨ angige Vektoren in einem reellen Vektorraum.

Man bestimme die Dimension des von den Vektoren

v

1

= a + b + c + d, v

2

= b + c, v

3

= c + d, v

4

= a + b aufgespannten Unterraums.

4.21 (Herbst 2000, Thema 1, Aufgabe 1)

V sei ein reeller Vektorraum und B = (v

1

, v

2

, v

3

, v

4

) eine Basis von V . Der Unter- raum U ⊂ V werde von den Vektoren u

1

, u

2

und u

3

aufgespannt, der Unterraum W ⊂ V von w

1

und w

2

, wobei

u

1

= v

1

+ v

2

− v

3

− v

4

, u

2

= 2v

2

+ 3v

3

, u

3

= −v

1

+ v

2

+ 4v

4

, w

1

= 2v

2

+ v

3

+ v

4

, w

2

= −2v

1

+ 3v

3

+ 2v

4

.

a) Untersuchen Sie, ob x = v

1

+ v

2

+ v

3

+ v

4

in U liegt.

b) Bestimmen Sie eine Basis von U ∩ W . 4.22 (Fr¨ uhjahr 2000, Thema 1, Aufgabe 1)

Seien a, b und c Vektoren eines R –Vektorraums V . Zeigen Sie:

a) Die Vektoren v

1

= a + b + c, v

2

= a + 2 b + 3 c, v

3

= 2 a + 3 b + c und v

4

= 3 a + b + 2 c sind linear abh¨ angig.

b) Sind {a, b, c} eine Basis von V , so sind die Vektoren v

1

, v

2

, v

3

linear un-

abh¨ angig.

(6)

4.23 (Fr¨ uhjahr 2013, Thema 3, Aufgabe 1)

a) F¨ ur n ∈ N mit n ≥ 3 sei die Matrix A = (a

ij

)

ij

∈ R

n×n

mit

a

ij

=

 

 

 

 

1, f¨ ur i = j, 1, f¨ ur i = j + 1,

a, f¨ ur i = 1 und j = n, 0, sonst.

mit einem Parameter a ∈ R gegeben; zu betrachten ist also

A =

1 0 0 . . . 0 a

1 1 0 0

0 1 1 . .. .. . .. . . .. ... ... 0

0 . .. 1 0

0 0 . . . 0 1 1

∈ R

n×n

.

Man zeige det(A) = 1 + (−1)

n+1

a etwa unter Verwendung des Laplace- schen Determinantenentwicklungssatzes.

b) Sei V ein R –Vektorraum mit dim(V ) = n ≥ 3 sowie b

1

, . . . , b

n

eine Basis von V ; ferner werden die Vektoren v

j

= b

j

+ b

j+1

f¨ ur j ∈ {1, . . . , n − 1}, also

v

1

= b

1

+ b

2

, . . . , v

n−1

= b

n−1

+ b

n

,

sowie v

n

= b

n

+ b

1

betrachtet. Man zeige etwa mit Hilfe von a), dass

• die Vektoren v

1

, . . . , v

n−1

linear unabh¨ angig sind,

• die Vektoren v

1

, . . . , v

n−1

, v

n

genau dann eine Basis von V sind, wenn n ungerade ist.

4.24 (Herbst 2007, Thema 1, Aufgabe 5)

Es sei M eine reelle n × n–Matrix mit M

2

= M . Weiter sei U ⊂ R

n

der L¨ osungs- raum des linearen Gleichungssystems M · x = 0 und S ⊂ R

n

der von den Spalten der Matrix M erzeugte Untervektorraum. Zeigen Sie:

a) F¨ ur alle v ∈ R

n

ist v − M · v ∈ U ,

b) R

n

= U ⊕ S (direkte Summe).

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