Aufgabe 1. Uberpr¨ ¨ ufen Sie mit dem Resolutionsverfahren, ob die folgenden Klauselmengen erf¨ ullbar sind.

Universit¨ at Siegen

Lehrstuhl Theoretische Informatik Markus Lohrey und Moses Ganardi

Logik SS 2014

Ubungsblatt 4 ¨

Aufgabe 1. Uberpr¨ ¨ ufen Sie mit dem Resolutionsverfahren, ob die folgenden Klauselmengen erf¨ ullbar sind.

a)

{A, B , C }, {¬A, ¬B , ¬C }, {A, ¬B }, {B , ¬C }, {¬A, C } b)

{A, ¬B }, {¬A, ¬C }, {¬A, C , D }, {¬D }, {B , D } c)

{A, C }, {B }, {¬C }, {A, ¬B , D }, {A, ¬C , ¬D }

Aufgabe 2. Wir modifizieren den Begriff der Resolvente: Eine Klausel R heißt Resolvente von Klauseln K

und K

, falls Literale L

, L

existieren mit L

, L

∈ K

und L

, L

∈ K

, so dass

R = (K

\ {L

, L

}) ∪ (K

\ {L

, L

}).

Ist der so definierte Resolutionskalk¨ ul korrekt? Ist er vollst¨ andig?

Aufgabe 3. Ein Graph G = (V , E ) heißt k -f¨ arbbar, wenn eine Funktion f : V → {1, . . . , k } existiert, so dass f (u ) 6= f (v ) f¨ ur alle (u , v ) ∈ E . Zeigen Sie, dass ein abz¨ ahlbar unendlicher Graph genau dann k -f¨ arbbar ist, wenn jeder endliche Teilgraph k -f¨ arbbar ist.

Hinweis: Verwenden Sie atomare Formeln A

mit der Bedeutung, dass Knoten v Farbe i erh¨ alt. Formalisieren Sie die k -F¨ arbbarkeit des Graphen durch eine Menge von Formeln und zeigen Sie mit dem Endlichkeitssatz, dass diese Formelmenge erf¨ ullbar ist.

Aufgabe 4. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Behauptungen:

1. Wenn F

, . . . , F

| = F gilt, dann gilt auch F

| = F f¨ ur ein i ∈ {1, . . . , k }.

2. Wenn F ≡ G gilt, so kommen in F und G die gleichen atomaren Formeln vor.

3. Jede Formel, die nur aus atomaren Formeln, ∨ und ∧ aufgebaut ist, ist erf¨ ullbar.

4. Sei M eine Formelmenge. Ist M unerf¨ ullbar, so ist jede endliche Teil- menge von M unerf¨ ullbar.

5. Sei M eine unendliche Formelmenge. Ist M unerf¨ ullbar, so existiert eine Formel F ∈ M , so dass auch M \ {F } unerf¨ ullbar ist.

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