Aufgabe 1. Uberf¨ ¨ uhren Sie die folgenden Formeln in KNF und DNF:

Universit¨ at Siegen

Lehrstuhl Theoretische Informatik Markus Lohrey

Logik I WS 2015/16

Ubungsblatt 4 ¨

Aufgabe 1. Uberf¨ ¨ uhren Sie die folgenden Formeln in KNF und DNF:

a) (A ∧ ¬C ) ∨ (¬A ∧ ¬B ) ∨ (¬B ∧ ¬C ) b) (B → ¬A) ∧ ((A ↔ ¬B ) → (A ∨ C ))

Aufgabe 2. Zu jeder aussagenlogischen Formel existieren ¨ aquivalente For- meln in konjunktiver und disjunktiver Normalform, die jedoch exponentiell gr¨ oßer als die Ausgangsformel sein k¨ onnen. Die L¨ ange einer Formel F in DNF ist die Anzahl der Konjunktionsterme in F .

Die Formeln F

sind durch die folgende rekursive Definition gegeben:

F

= ¬A

, F

= F

↔ ¬A

a) Die Formel F

enth¨ alt nur Negation und den ¨ Aquivalenzoperator. Zei- gen oder widerlegen Sie die folgende Assoziativit¨ atseigenschaft von ↔:

(A ↔ B ) ↔ C ≡ A ↔ (B ↔ C ) b) Geben Sie F

und alle Modelle von F

an.

c) Wieviele Modelle hat F

? (mit Beweis)

d) Zeigen Sie, dass jede zu F

¨ aquivalente Formel in DNF mindestens L¨ ange 2

hat.

Aufgabe 3. Zeigen Sie die folgenden Behauptungen durch geeignetes An- wenden des Markierungsalgorithmus.

a) Die folgende Formel ist erf¨ ullbar:

(1 → A) ∧ (A → B ) ∧ (A → C ) ∧ (A ∧ B ∧ C → D )

∧ (D ∧ E → F ) ∧ (F → 0) b) Die folgende Formel ist g¨ ultig:

(A ∧ D ∧ ¬I ) ∨ (B ∧ ¬D ∧ E ) ∨ (¬A ∧ B ∧ C ∧ H ) ∨ (¬E ∧ F )

∨ (¬C ∧ F ) ∨ (G ∧ ¬H ) ∨ ¬B ∨ ¬F ∨ ¬G ∨ I

c) B ∧ D → A, B ∧ G → F , A ∧ C ∧ F → E , B , D | = E ∨ ¬G ∨ (¬C ∧ D )

1