¨Ubung : Hauptachsentransformation 11.1 ¨Uberf¨uhren Sie die quadratischen Gleichungen in Normalform

Fakult¨at f¨ur Mathematik

Dr. U. Streit 13. Dezember 2018

H¨ohere Mathematik I (f¨ur MB)

11. ¨Ubung : Hauptachsentransformation

11.1 ¨Uberf¨uhren Sie die quadratischen Gleichungen in Normalform.

Welche Kurven bzw. Fl¨achen zweiter Ordnung werden dadurch beschrieben ?

(a) 13x²1−10x1x2+ 13x²2−288 = 0

(b) 9x²1−24x1x2+ 16x²2−130x1+ 90x2+ 175 = 0 (c) 5x²1−6x¹x2−3x²2+ 2x¹+ 18x²−43 = 0 (d) 5x²1−4x1x2+ 2x²2+ 2x1−6x2+ 4 = 0

(e)x²1+ 5x²2+x²3+ 2x1x2+ 6x1x3+ 2x2x3+ 36x1−36x2+ 70 = 0 (f) 2x²1+ 2x²2+ 3x²3+ 4x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3+ 10x2+ 1 = 0

(g) 9x²1+x²2+ 16x²3−6x1x2+ 24x1x3−8x2x3−12x1+ 4x2−16x3+ 4 = 0 11.2 Der Durchschnitt des Kegelsx²+y²−z²= 0 und der

Ebeneαx+z= 1, α∈^R definiert eine Kurve zweiter Ordnung (”Kegelschnitt”).

Stellen Sie fest, um welche Kurve es sich im Falleα= 0.5 handelt.

Ermitteln Sie dazu die Projektion dieser Kurve in diex-y-Ebene, indem Siezaus der Ebenengleichung isolieren und in die Kegelgleichung einsetzen.

Zusatz . F¨ur welche Werte vonαist die Schnittkurve (a) eine Ellipse,

(b) eine Parabel, (c) eine Hyperbel ?

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Fakult¨at f¨ur Mathematik

Dr. U. Streit 18. Dezember 2018

H¨ohere Mathematik I (f¨ur MB)

12. ¨Ubung : Grenzwerte

12.1 Berechnen Sie den Grenzwert der Zahlenfolge{xn}. (a) xn= n²+n−1

√5n⁴−20n³+ 3 (b) xn=sinn−cos³n

√n+ 2 (c) xn= a n^p+ 1

(−1)ⁿb n^q−1, p, q∈N, a, b∈R, ab6= 0

12.2 Gegeben sind eine Zahla6= 0 und eine Nullfolge{xn} mitxn6= 0.

Berechnen Sie den Grenzwert der Folge{yn} mit yn=

1 a+xn−a¹

xn . 12.3 Eine Zahlenfolge{xn} wird erzeugt nach der Vorschrift

xn+1=g(xn), n≥1, x1=q

mitg(x) = 2x(1−x) und 0< q <¹₂.Zeigen Sie, dass die Folge monoton und beschr¨ankt ist, n¨amlich 0≤xn≤¹2.

Welchen Grenzwert hat die Folge ?

Zusatz.Was ¨andert sich bei q≤0 bzw. q≥¹2 ? 12.4 F¨ur welche x∈R ist f nicht definiert ?

Bestimmen Sie die Grenzwerte vonf f¨ur jede dieser Stellen.

Geben Sie die Asymptoten vonf an.

(a) f(x) = x²+x−2

(x−1)(x+ 1)²(x+ 2) (b) f(x) = x³−7x+ 6 x²−4x+ 3 (c) f(x) =x³−x²−x+ 1

x²

12.5 Berechnen Sie, indem Sie umformen und bekannte Grenzwerte nutzen.

(a) lim

x→1

1−√ x

x−1 (b) lim

x→∞

1 + 1

3x x

12.6 Bestimmen Siec∈R so, dass die Funktion f(x) = exp(−|x|⁻¹²), x6= 0, f(0) =c stetig aufR ist.

Hatf eine Asymptote ?

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