Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit 3. Januar 2018
H¨ohere Mathematik I (f¨ur MB)
11. ¨Ubung : Eigenwerte III
11.1 Bringen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen auf Normalform.
Um welche Kurven bzw. Fl¨achen zweiter Ordnung handelt es sich ? (a) 13x21−10x1x2+ 13x22−288 = 0
(b) 9x21−24x1x2+ 16x22−130x1+ 90x2+ 175 = 0 (c) 5x21−6x1x2−3x22+ 2x1+ 18x2−43 = 0 (d) 5x21−4x1x2+ 2x22+ 2x1−6x2+ 4 = 0
(e)x21+ 5x22+x23+ 2x1x2+ 6x1x3+ 2x2x3+ 36x1−36x2+ 70 = 0 (f) 2x21+ 2x22+ 3x23+ 4x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3+ 10x2+ 1 = 0
(g) 9x21+x22+ 16x23−6x1x2+ 24x1x3−8x2x3−12x1+ 4x2−16x3+ 4 = 0 11.2 Durch den Schnitt des Kegelsx2+y2−z2= 0 mit der
Ebeneαx+z= 1, α∈R wird eine Kurve zweiter Ordnung (”Kegelschnitt”) bestimmt.
Stellen Sie fest, um welche Kurve es sich im Falleα= 0.5 handelt.
Ermitteln Sie dazu die Projektion dieser Kurve in diex-y-Ebene, indem Siezaus der Ebenengleichung isolieren und in die Kegelgleichung einsetzen.
Zusatz . F¨ur welche Werte vonαist die Schnittkurve (a) eine Ellipse,
(b) eine Parabel, (c) eine Hyperbel ?
Aufgaben und L¨osungen im Web : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit 4. Januar 2018
H¨ohere Mathematik I (f¨ur MB)
12. ¨Ubung : Grenzwerte
12.1 Berechnen Sie die Grenzwerte der Zahlenfolgen, falls diese existieren.
(a) lim
n→∞
n2+n−1
√5n4−20n3+ 3 (b) lim
n→∞
sinn−cos3n
√n+ 2 (c) lim
n→∞
a np+ 1
(−1)nb nq−1, p, q∈N, a, b∈R, ab6= 0
12.2 Es sei{xn} ⊆R eine Nullfolge (xn6= 0) unda6= 0 . Berechnen Sie lim
n→∞
1 a+xn−1a
xn
.
12.3 Die Zahlenfolge{xn} wird erzeugt nach der Vorschrift
xn+1=g(xn) mitg(x) = 2x(1−x), n≥1, x1=q∈(0,0.5). Zeigen Sie, dass die Folge monoton ist und beschr¨ankt,
n¨amlich 0≤xn≤12.Berechnen Sie den Grenzwert der Folge.
12.4 F¨ur welche x∈R ist f nicht definiert ?
Bestimmen Sie die Grenzwerte vonf f¨ur jede dieser Stellen.
Geben Sie die Asymptoten vonf an.
(a) f(x) = x2+x−2 (x−1)(x+ 1)2(x+ 2) (b) f(x) =x3−7x+ 6
x2−4x+ 3 (c)f(x) =x3−x2−x+ 1
x2
12.5 Berechnen Sie mittels geeigneter Umformung des Bruches.
lim
x→1
1−√x x−1
12.6 Bestimmen Siec∈R so, dass die Funktion
f(x) = exp(−|x|−12), x6= 0, f(x) =c , x= 0 stetig aufR ist.
Geben Sie die Asymptote vonf an.
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