Die Reduktion einer allgemeinen Schar von quadratischen Matrizes {mü}A + {nü}B auf eine Normalform

Research Collection

Doctoral Thesis

Die Reduktion einer allgemeinen Schar von quadratischen Matrizes {mü}A + {nü}B auf eine Normalform

Author(s):

Wildhaber, Jacques Publication Date:

1916

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https://doi.org/10.3929/ethz-a-000091751

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Die

Reduktion ^einer allgemeinen ^Schar

von quadratischen ^{Matrizes a A+i/B}

auf eine Normalform.

Von der

Eidgenössischen Technischen Hochschule

in Zürich

zur Erlangung ^der

Würde eines Doktors der Mathematik

genehmigte

Promotionsarbeit,

vorgelegt ^von

Jacques Wildhaber, dipl. Fachlehrer,

aus Sargans ^{(Kt. St.} Oallen).

Referent: Herr Prof. Dr. H. WEYL :: :

Korreferent: Herr Prof. Dr. A. HURWITZ

138

ZURICH d 1916.

Druck von Gebr. Leemann & Co.

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»

Literatur

Inhaltsverzeichnis.

Seite 4

Vorwort . 5

§ ^1. Vorbegriffe ^{aus der} Ausdehnungslehre: Extensive Größen und

ihre Gebiete 7

§ ^{2. Die} Zuordnung ^{Z im} Hauptgebiete ^{mter Stufe . . . 13}

§ ^{3. Die Reduktion der} Zuordnung Z aufeine Nonnalform.

Einleitung: ^Ziel der Reduktion der Zuordnung ^Z. Einige allgemeineSchlüsse auf dievoraussichtliche Gestalt der Normal¬

form 17

Ausführung ^{der Reduktion.}

A. Die Reduktion der Zuordnung ^{Z auf eine} „geordnete"

Form .20

B. DieZerfällung^dergeordneten ZuordnungⁱⁿGrößenketten. 24 I. Teil: Abspaltung ^{der s- und u- Ketten ... 25}

II. _„ „ „ r- _„ t- _„ 31

III. _{„ „ „} w- _„ .38

§ ^{4. Die Normalform der} Matrixschar /*A+i'B . . . 45

§ ^5. (Anhang.)^DasTrägheitsgesetzder Normalforzn derZuordnung^{Z 53}

Weierstraß und Kronecker: Abhandlungen ⁱⁿ den Berliner Monats¬

berichten 1868 und 1874.

Frobeuius:

Übec,

^{bilineare Formen. Crelles} Journal, ^Bd. 84, ^1877.

Bêcher: Lehrbuch für höhere Algebra (Elementarteiler).

Hagen: Synopsis ^II (Ausdehnungslehre).

Buchheim: On the theory of matrices. Proc. of the London Math. Soc.

1884.

Graßmann: Ausdehnungslehre ^1862.

Mehmke: Punktrechnuug ^1913.

Vorwort.

Die im Titel dieser Arbeit

angeführte Aufgabe,

^deren

^Lösung

den Schlüssel ^zur

Aufstellung

^aller

möglichen

Invarianten

système

liefert, ^{die über die}

Äquivalenz

^zweier

allgemeiner

^{Scharen von}

quadratischen

^Matrizes fiA

-\-

^vB und \i C-4-vD

entscheiden,

soll in den nachstehenden

Ausführungen

^{mit Hilfe von}

^Methoden,

die dem

Gedankengange

^der Graßmannschen

Ausdehnungslehre eigen ^sind, erledigt

werden. Dieses Problem fand seine

erstmalige Lösung

^{durch L. Kronecker in} den BerlinerMonatsberichten 1868 und 1874.

(Eine

^einfachere

Aufgabe

^dieser

Art,

^{Reduktion einer Matrix}

auf eine

Normalform,

ist auf ähnlichem

Wege

^{von A. Buchheim}

behandelt worden. Man sehe: On the

theory

^of

matrices,in

^den'

London Math. Proceed. 1884. Die

Lösung

^dieser

Aufgabe

^ist

ersichtlich aus

§ 3,

^III.

Teil,

^{Abschnitt 2 dieser}

Arbeit.)

Ich widme dieses Werklein meiner lieben Mutter, Frau Barbara

Wildhaber-Heer,

^{die durch ihre}

opferwillige

^Unter¬

stützung

^das

Gelingen

desselben und mir damit die

Erreichung

des erstrebten Zieles

ermöglicht

^hat.

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*

1. Vorbegriffe

^aus

^der Ausdehnungslehre:

Extensive Größen und ihre Gebiete.

1. Eine aus den n

unabhängigen1)

^Einheiten elt e2, •••, en und den

gewöhnlichen

^Zahlen alf a2, •••, an zusammenge¬

setzte höhere

komplexe

^Zahl

n

a ⁼

2

^{ai e<}

heißen wir mit H. Graßmann eine extensive Größe oder auch

häufig

^einfach

„Größe".

⁰ex

-f-

0 e2

-\-••+

^{0en heißt die ex¬}

tensive Größe

„Null".

Extensive Größen bezeichnen wir in der

Folge

^{mit kleinen} lateinischen,

gewöhnliche ^Zahlen,

^{die die Bolle von} Koeffizienten

spielen,

mit kleinen

griechischen

Buchstaben.

Für extensive Größen

gelten

^die

ßechnungsgesetze

^:

nun

t=l ,=I }=1

n n

aa = a

y]

^Qjet=

^

^a«,e,-

i=\ i=l

2. Endlichviele extensive Größen _{at, a2,} ^• _{-, am}in

gegebener Reihenfolge

^{bilden einen} Größenverein.

Aus einem

gegebenen

Größenvereine

n

«i. «2, ^• •, «m, ^wo a, ⁼

]>j

^alfcefe

⁽ⁱ

⁼

^{1, 2,}

^{• • ,}

^m)

*=i

r) ^Siehe Anmerkung ^{S. 8.}

lassen sich soviele unter sich

unabhängige *)

^Größen

herausgreifen,

als der

Eang

^der

zugehörigen

Koeffizientenmatrix ftn ai2^{' '} 'am

ft21 a22^{' ' "}a2ll

angibt.

Einen

Größenverein,

^{der aus lauter}

unabhängigen

^Größen

besteht, nennen wir eine

Größengruppe. Größengruppen

^be¬

zeichnen wir abkürzend mit fetten lateinischen Buchstaben B.

a =

(%,

a2, •,

am), {ax,

a2, ••, am

unabhängig).

Beliebige

^{aus einer}

Größengruppe

^{a =}

(alf

a2, ••,

am) herausgegriffene

^{Größen «,-, «t, • •,} ar, ^wo i<C^Je<^ <C^{r In¬}

dizes der Reihe 1, 2, -, m

bedeuten,

bilden einen Abschnitt derselben.

Die Anzahl der in einer

Größengruppe

auftretenden Größen heißt die Stufe derselben.

3. Eine

Größengruppe

^{mter Stufe bestimmt ein Gebiet}

mter Stufe. Jede Größe _a, welche dem Gebiete einer ge¬

gebenen Größengruppe

^{a =}

(at,

a2, ^{• •} -,

am) angehört,

^{läßt sich}

darstellen durch die Formel:

m

a' ⁼

2at

^a"

wo die _«,•

beliebige

^{Zahlen bedeuten.} Ohne weiteres ist

klar,

was man unter

gleichstufigen

^und

gleichgebietigen Größengruppen

verstehen wird.

*) ^Lineare Unabhängigkeit ^im gewohnlich gebrauchten Sinne: Eine lineare Gleichung ^aA + /SB ⁺ j'C + ^--.=0 zwischen unabhängigen

Elementen A, B, C,.^{. ist} unmöglich,^{wenn die}Zahlkoeffizientena, ß,y, ^. nicht sämtlich Null sind. (Damit ist auch die Null aus diesen Elementen

ausgeschlossen.)

— 9 ^—

Das Gebiet eines Größenvereins ist bestimmt durch eine

beliebige höchststufige Größengruppe,

^{die aus demselbenheraus¬}

gegriffen

werden kann.

Gebiete bezeichnen wir durch

Einfassung

^der

gegebenen

Größen in

eckige ^Klammern,

^{z. B.}

[alt

^{%,• • -,}

am]

^{oder auch}

[a],

wenn

(alt

a2, •••,

am)

^{= a eine}

Größengruppe darstellt,

^oder

aber

abgekürzt

^{durch deutsche} Buchstaben. Dabei lassen wir,

wenn immer

möglich,

^die

Bezeichnungen zusammengehöriger Größengruppen

^und Gebiete miteinander

korrespondieren,

^z.B.

a =

[a]

⁼

[alt

^{a2, -,}

am~].

Das Gebiet der «Einheiten _{ex, e2»} ^{• •} _{-, en,} das alle

übrigen

Gebiete

umfaßt,

^heißt das

Hauptgebiet

^{«ter Stufe.}

Die Stufenzahlen

gegebener

^{Gebiete und}

Größengruppen

^be¬

zeichnen wir

dadurch,

^{daß wir den}

Bezeichnungen

^{der letztern.}

«in

großes

lateinisches S vorsetzen.

So,

^{S& =} Stufenzahlen von a und a.

4. Mit

[a, b]

(man ^{lese: a} verbunden mit

b)

^bezeichnen

wir das kleinste

Gebiet,

^{das sowohl a wie b}

umfaßt,

mit

[a f\ b]

(man

^{lese: a}

geschnitten

^mit

b)

^das

größte Gebiet,

^{das in a}

und b

gleichzeitig

^{enthalten ist.}

^[a, b]

^{heißt das} verbindende oder

Verbindungsgebiet, [û/\b]

^das

gemeinsame

^oder

Schnittgebiet

^{der beiden Gebiete a und b.}

Fürdie Stufenzahlen der

obigen

^Gebiete besteht dieRelation:

S[aAb] + S[a,b]

^{= Sa}

+

^{S b.}

(Man vergl. Hagen, Synopsis,

^Bd.

^II,

^S.

136.)

Das verbindende Gebiet zweier

Größengruppen

^{a und b ist}

gleich

^{dem Gebiete des}

Gesamtgrößenvereins (a, b).

Um das

Schnittgebiet [a f\ b]

^{zweier Gebiete a =}

[a]

^und

b ⁼

[b]

^zu

bestimmen, greifen

^{wir aus dem}

Gesamtgrößenvereine (a, b)

eine dessen Gebiet bestimmende

Größengruppe

^{heraus und}

stellen dieverbleibenden Größen als Vielfachensummen derheraus¬

gegriffenen

^{dar. Die so erhaltenen}

Abhängigkeitsrelationen bringen

wir auf die Form:

2 _{«,- a,-} = 2

ßk h

Dann ist .3_öjci, ⁼

—ft 6*

^eine

Größe,

^welche sowohl dem Ge¬

biete a als demGebiete b

angehört,

^{mithin eine}Größe des Schnitt¬

gebietes [a f\ b].

^{Man ersieht}

leicht,

daß die sämtlichen so er¬

haltenen Größen von einander

unabhängig sind,

^{wenn man}

speziell

die

repräsentierende Größengruppe

^des

Verbindungsgebietes [a, b]

so

wählt,

^{daß sie die}

vollständige Größengruppe

^{a umfaßt. Dann}

gehören

^die

abgeleiteten

Größen sämtlich der

Gruppe

^{b an};

jede

der Summen J

ft bk

enthält daher eine

gewisse

^Größe

&,-,

^die

in den

übrigen

^nicht

auftritt,

^woraus

folgt,

^{daß diese Summen}

unabhängig

^{sind. Die Anzahl der}

Abhängigkeitsrelationen

^ist

Sa

+

^Sb—

S[a, b]

⁼

8[a /\ b].

Die

gefundenen

Größen bestimmen mithin

gerade

^das

gesuchte Schnittgebiet [a f\ b].

Durch die Zeichen

\

^und

}

^{deuten wir das Ent ha11en sein}

und das Umfassen mit Einschluß

möglicher

^Gleich¬

heit _an, während wir im Falle des Ausschlusses der Gleichheit die Zeichen

{{

^und

j)

^verwenden.

B. Ist

a ⁼

(rtt,

a2,^• •, ar), A^=r

(%,

^{• •, ar,}ar+i, •,as),

so

gilt

a-jA

^und

[a] \ [A],

^{wenn r}

<s, dagegen

a

-fj

^{A und}

[a] ^ [A],

^{wenn r}-<^{s ist.}

5. Zwei oder mehrere Gebiete heißen

unabhängig,

^wenn

deren

repräsentierende Größengruppen

zusammengenommen wieder eine

Größengruppe

^{bilden. Die}

Unabhängigkeit

^{von Gebieten}

deuten wir dadurch an, daß wir deren verbindendes Gebiet als Summe der

gegebenen

Gebiete anschreiben:

[o, b, c,---]

^=a

+ b-f-H

^,

wenn a,

b,

c,^{• ••}

unabhängige

^{Gebiete sind.}

Die

Bedingung

^der

Unabhängigkeit

^von Gebieten läßt sich durch die Formel ausdrücken:

S[a, ^b,

<:,• ^•

•]

^{= Sa}

+

Ab +

Sc-\

11 ^—

(Für abhängige

^Gebiete

gilt:

S[a,b, c,---~\<Sa +

^Sb + Sc

+ -.-)

H. I.

(Hilfssatz I.)

^{Ein Gebiet} a1 innerhalb _a, das vom

Schnittgebiete [a f\ b]

^{der Gebiete a und b}

unabhängig

ist, ^ist

unabhängig

^{vom Gebiete b.}

[Folgt

^{aus der}

Erklärung

^des ge¬

meinsamen Gebietes zweier

Gebiete.]

^Formeln:

O!

^o; [a1([oA&]]

^{= <»!}

+[ctA&]; [öi,b]

⁼a1

+

^b.

6. Ist a ein Gebiet innerhalb

33,

^{b einvon a}

unabhängiges Gebiet,

^{das a zum} Gebiete S3

ergänzt (Formel

^{: a}

+

^{b =}

93),

so heißt b ein

Komplementärgebiet

^{von a innerhalb}

93,

eine

beliebige repräsentierende Größengruppe

^{b von b}

Komple¬

mentärgruppe

^{von a innerhalb 93. Wir} sagen etwa, wenn

wir 93 als

Verbindungsgebiet

^{der Gebiete a und b}

darstellen,

wir hätten innerhalb 93 das Gebiet a

hergestellt.

H. II. Ist &⁼

(a1,a2,-

^•

,ar)

^eine

GröEengruppe

^{im Ge¬}

biete

93,

^{b =}

(b1, b%,-

••,

bs)

^eine

Komplementärgruppe

^{des Ge¬}

bietes a ⁼

[a]

^innerhalb

93,

^{so erhält man}

jede

^andere

Komple¬

mentärgruppe

^{b' =}

(&/, b2',•••, bs')

^{von o innerhalb 93 ausden}

Formeln:

s r

bi

^{= 2}

ßik

h

-f-

²aaau i =

1, 2,-

^• -, s,

fc=i i=i

wo die _a«

beliebige Zahlen,

^die

ß^ beliebige

Zahlen mit einer von Null verschiedenen Determinante bedeuten.

s r

Die Summen 2

ßatbk,

^- «« a\ heißen wir etwa b^-

Kompo-

nente und

a-Komponente

^{der Größe}

b/. [Komponente

^der

Größen

&&,

_resp.

aj,]

(Aus

^der

Unabhängigkeit

^der

6-Komponenten

^{der Größen}

bt' folgt sowohl,

^{daß die}

b/

^{unter sich}

unabhängig

sind, ^als auch, daß sie _{mit den aj} zusammen eine

Größengruppe bilden.)

Komplementärgruppen, ^die,

^{wie b und}

^b',

durcheinander ersetzt werden

können,

^{heißen wir}

gleichartig.

H III. Ist a

<| ^31,

^{b ein}

gegebenes Gebiet,

^{c ein}

Komple¬

mentärgebiet

^von

[a A &3

^innerhalb

[31 A &]>

^so

ffiM

^{es e^n Korn-}

plementärgebiet

^{a' von a innerhalb 21 derart, daß}

[a' /\ b]

^{= c}

ist Formeln:

a^ ^31; [SC A 6]

⁼

[a A 6]

⁺ c; 31^- a +

a'; [a' A ^b]

^{= c.}

Beweis. Es sei

[a A b]

⁼

[a1(

a2)- ^• -,

a,.]; [21 A 6]

⁼

[%,•

^• -, a,-,Ci,- ^•

-,cj;

a⁼

[«J,

^{• •} •,ar,fflr-i-i,• ^{• •}ï

wsJ

^{; c =} [Ci, c2, ^• •,

cjj.

Die sämtlichen Größen _a,- und die t Größen Cj sind voneinander

unabhängig;

^{denn wäre}

s t

" bt"t ^{— ""} =$ CJ⁾

1=1 j=l

so

gehörte

^die auf der rechten und linken Seite dieser

Gleichung

stehende Größe ^zu

[21 A

^°]

(rechte Seite)

^{und zu a}

(linke ^Seite),

mithin sowohl zu a als zu

b,

^{d. h. also zu}

[a A ^&].

^Deshalb

müßte

lr+1

⁼

êr+2

^{= •• =}

Is

^{= 0}

sein. Dann sind aber auch alle

übrigen

^Zahlen.

^&

^und

£,-,

^die

nun ausschließlich zu den Größen der

repräsentierenden Gruppe

von

[3t A fr] gehören, gleich

^Null.

Repräsentieren

^{wir nun 2t} durch eine solche

Größengruppe,

welche die sämtlichen Größen _m

[i

⁼

1,

2,- ^{• •}

,s]

^{und die sämt¬}

lichen Größen _Cj

\_j

⁼ 1,

2,

^{• •} •,

f] umfaßt,

so erfüllt das Gebiet

a' ⁼

[ct.Cjj,-

-,Ci, elf-^•

-.ej

die sämtlichen

Bedingungen

^{des Satzes. Denn}

jede Größe,

^welche

zu

[a' f\ b] gehört,

^{und daher auch zu}

[31 A &]

^»

enthält,

^wenn

man sie aus den Größen c,- ^und e« linear zusammensetzt, ^{die e}

nicht, folglich

^{nur die} cj; also ist ⁱⁿ der Tat

[a' Ab]

⁼

[c!,c2,- ••,cj]

^=c.

§ ^{2. Die} Zuordnung ^{Z im} Hauptgebiete ^n-ter

Stufe.

1. Definition: Sind

(h, h,'

-,

an),

^wo a, ⁼ 2 alkek, i

1,2,-

&»)<

^wo &< ^{= -}

ftft

ek, i ⁼

1, 2,

£wei Vereine von

je

^{n Größen im}

Hauptgebiete

^nLter

Stufe,

^so

heißen wir ein

Symbol

Z =

bi b2

^bn

ivelches der i-ten Größe des einen Vereins die i-te Größe des andern Vereins zuordnet

(i

⁼

1,

2,- ^• -,

n),

^eine

„Zuordnung"

im

Hauptgebiete

^n-ter

Stufe

^{oder auch}

einfach „Zuordnung

^Z.u

Die obere Zeile einer

Zuordnung

^{heißen wir}

Zähler,

^die

untere Nenner

derselben,

^{die in denselben} befindlichen Größen

„Zählergrößen"

^und

„Nennergrößen."

^{Die zu} Zähler und Nenner

von Z

zugehörigen quadratischen

Koeffizientenmatrizes Pll

ßl2

^{- - "}

ßin

A ⁼

a11 als ß21 ^22

B ⁼

P21 P2

ßin

Pni Pns ^{' ' '} ßn

nennen wir das zur

Zuordnung

^Z

zugehörige

^Matris¬

paar. Zwei übereinanderstehende Größen bilden ein Größen¬

paar oder eine

Spalte

^der

ZuordnungZ.

^Aus ein oder mehreren

Größenpaaren

^der

Zuordnung

^{Z setzt sich} ein Abschnitt der¬

selben zusammen, ß.

Zi

^{«t «fc}

• •

as

bi

bk---

bs

wo

i<J<---<s

^{Indizes derReihe}

1,2,

^{• •} •, ⁿbedeuten. Ein Abschnittvon m

Größenpaaren

heißt m-sp

altig;

^{Abschnittevon}

gleicher Spaltenzahl

^heißen

gleichspaltig.

^Ohne weiteres ist

klar,

^{was unter}

„Zählergebiet", „Nennergebiet"

^der

Zuordnung

^{Z oder} eines Abschnittes derselben ^zu verstehen ist.

Das verbindende Gebiet dieser letztern Gebiete heißt das Ge¬

samtgebiet,

^das

gemeinsame

Gebiet derselben das Schnitt¬

gebiet

^der

Zuordnung

^{Z oder ihres} Abschnittes.

2. Zwei

Zuordnungen

Z' und Z" heißen

additionseinig,

wenn sie im Nenner miteinander übereinstimmen. Die Addition solcher

Zuordnungen geschieht

^wie

folgt:

Z'+Z"

^{== ai a% -an 4- Oj\ $2}

' ' '

&u

h h

^{• •}

bn

ax

-)-

^ax

a2' + a2"

^• an^'—[—¹ an^{" 1*}

h h K |

IZ

Unter l Z versteht man eine

Zuordnung,

^{die aus Z dadurch} entsteht, daß man die sämtlichen

Zählergrößen

^{von Z mit einem}

Zahlfaktor X

multipliziert:

l _«! h_a2 ^• X_an

bi b2

^•

bn

Ein

Größenpaar

^{von der Gestalt}

7i «i

+

7t «2

+

^{• • •}

-4"

Yn^an

Yxh + y2&2 -(-•••• -fy»ö»

heißt eine lineare Kombination der

Größenpaare

an

bn

3. Unter einer

Umformung

^der

Zuordnung

^{7> in sich} selbst

(in

^der

Folge

^kurz

Umformung genannt)

^{verstehen wir}

— 15 ^—

eine solche,

auf

^Z

ausgeübte Operation,

^{welche an die Stelle der}

gegebenen Größenpaare

^lineare Kombinationen derselben treten

läßt,

derart, ^{daß die Gebiete der neuen Zähler- und}

Nennergrößen

mit

denjenigen

^der

früheren

übereinstimmen.

Einfachste

Operationen

^dieser

^Art,

^{oder also elementare Um¬}

formungen,

^{sind die}

folgenden Operationen

^:

a) Vertauschung

^der

Stellung

^zweier

Größenpaare (Ope¬

ration

a),

b) Multiplikation

der Größen eines

Größenpaares

^{mit ein}

und demselben nicht verschwindenden Faktor

(Operation b), c)

^Addition der mit einem

beliebigen

^Faktor

multiplizierten

Größen eines

Größenpaares

^{zu den}

entsprechenden

^{Größen eines}

andern

Größenpaares (Operation c).

Die

allgemeine Umformung

^der

Zuordnung

^{Z ist}

gleich¬

bedeutend mit einer kombinierten

Ausübung

^der

Operationen

a,

b,

^c in endlicher Anzahl. Sie läßt sich aber auch identifi¬

zieren mit der simultanen

Ausübung

^einer linearen Substitution

von nicht verschwindender Determinante auf Zähler und Nenner der

Zuordnung

^{Z. Es}

gilt

^mithin:

Z' ^{= ^1 ^*2}

• • •

(tfi

bi' V-

^• b„'

a± a%^{• • •}an

h

h-- -bn Z,

wenn

k=i n

&,'

⁼ JS yik

bk

ft=i

M=1.2, _,»; Det.

||

nu

|| =|=

^0.

')

Wegen obigem

heißen wir die

allgemeine Umformung

^auch

etwa lineare Transformation der

Zuordnung

^Z.

x) ^Maavergleiche ^{damit die}Umformungdes GraßmannschenQuotienten

^1j^2j^{' ''}1^n eli e2t ^{• •} •) Ai >

der ein Spezialfall ^der Zuordnung Z darstellt: Zuordnung mit lauter unab¬

hängigen Nennergroßen.

Ferner

sprechen

^{wir etwa von} verschiedenen

Darstellungen

oder

Formen,

^{die der}

Zuordnung

^{Z durch}

Umformung beigelegt

werden können.

4)

^Ein

^Abschnitt,

^{welcher einen}

gegebenen

^Abschnit

^Z*

^einer

Zuordnung

^{Z zu letzterer}

ergänzt,

^heißt

Komplementär¬

abschnitt von

Zx

innerhalb Z.

Zwei-

Komplementärabschnitte,

die denselben Abschnitt der

Zuordnung

^{Z zu zwei} verschiedenen Formen von Z

ergänzen,

heißen

gleichartig.

Eine

gegebene Darstellung

^einer

Zuordnung

^{Z heißt zer¬}

legbar,

^{wenn sich ihre}

Größenpaare

^so in Abschnitte _grup¬

pieren ^lassen,

^{daß die}

Gesamtgebiete

der letztern voneinander

unabhängig

^{sind. Ein}

System

^von Abschnitten der

Zuordnung

^Z,

die sämtlich

unabhängige Gesamtgebiete besitzen,

^bezeichnen

wir als ein

System

^von

Hauptabschnitten.

Bemerkung.

^{In den bis}

jetzt gemachten Ausführungen

kann die Rolle der

Zuordnung

Z ohne weiteres auch auf einen Abschnitt derselben

übertragen

^{werden. Ein}

prinzipieller

^Unter¬

schied zwischen

Zuordnung

und Abschnitt besteht nur insofern, als in der

Zuordnung

^{die Anzahl der}

Größenpaare (Spaltigkeit

der

Zuordnung) gleich

^oder

größer

^{ist wie die Stufenzahl des}

Gesamtgebietes,

^{was bei} einem Abschnitte nicht der Fall zu sein braucht. In

Betrachtungen,

^{die auf diese}

spezielle Eigen¬

schaft der

Zuordnung

^keinen

Bezug

nehmen, können daher Zu¬

ordnung

^und Abschnitt in

gleicher

Weise behandelt werden.

§ ^{3. Die} Reduktion der Zuordnung ^Z

auf eine Normalform.

Einleitung:

Ziel der Keduktion der

Zuordnung

^Z.

Einige allgemeine

^{Schlüsse auf die} voraussicht¬

liche Gestalt der Normalform.

In der

allgemeinen

^{Form der}

Zuordnung

^Z,

rj (li tt%^{• • •}üfi

sind die auftretenden Größen durch

mannigfache Abhängigkeits¬

relationen

regellos

miteinander verbunden, sozusagen ineinander

„verfilzt".

^{Ziel eines}

systematischen Umformungsverfahrens

^wird

es sein, ^diese

Verfilzungen

^der Größen auseinanderzulösen d. h.

die Anzahl der

Abbängigkeitsrelationen

^{auf ein Minimum zu re¬}

duzieren,

und die nicht eliminierbaren

Beziehungen

^{auf eine}

möglichst

^{einfache Form zu}

bringen.

Das Bestreben, ^{die Anzahl der}

Abhängigkeitsbeziehungen

zu

vermindern,

^{wird dazu}

führen,

^die

Zuordnung

^{Z durch Um¬}

formung

ⁱⁿ

möglichst

^viele

Hauptabschnitte

^zu

zerlegen,

^{da dann}

Abhängigkeitsbeziehungen

^nur noch zwischen den Größen eines

Hauptabschnittes,

^{nicht aber zwischen Größen} verschiedener

Hauptabschnitte

^bestehen

(wie

^{aus der}

Erklärung

^der

Haupt¬

abschnitte

folgt).

Dasselbe Bestreben wird uns auch

veranlassen,

nach

Möglichkeit

^die

Abhängigkeitsbeziehungen

der Zähler- und der

Nennergrößen

^{unter sich zu}

eliminieren,

^{d. h.}

abhängige

Größen durch Nullen zu ersetzen.

Als einfachste

Beziehungen,

^{in denen eine}

(von

^{Null ver¬}

schiedene)

^{Größe einer}

Zuordnung

^{zu den}

übrigen

^{Größen der¬}

selben stehen

kann,

^{sind die drei}

folgenden

^{zu nennen:}

1. Eine Größe ist

unabhängig

^von den sämtlichen

übrigen

Größen der

Zuordnung.

2. Eine Größe tritt in Zähler und Nenner

gleichzeitig,

^aber

in verschiedenen

Größenpaaren auf,

^{und ist}

unabhängig

^{vom Ge¬}

biete der 2^{« —} 2

übrigen

^{Größen der}

Zuordnung,

^z.B.

(Die

Sterne bedeuten

beliebige Größen,

^{die der Größe c} zuge¬

ordnet sind. Wäre etwa eine der Größen c nochmit einem Faktor l

[4= O] multipliziert,

^{so könnte man denselben durch}

Operation

^b

wegschaffen.)

- 3. Eine Größe stimmt bis auf einen nicht verschwindenden Zahlfaktor überein mit der

zugeordneten

^Größe und ist unab¬

hängig

^{vom Gebiete der 2n — 2}

übrigen Größen,

^{z. B.}

c

Unter

Berücksichtigung,

^{daß Null} als Zähler- und Nenner¬

größe

^{auftreten kann, lassen sich die}

folgenden

^Zusammen¬

stellungen

^von

Größenpaaren

herstellen, zwischen deren Größen

nur die

Beziehungen

^1. und 2. herrschen:

0 _rx- ^• _{ric-2 rft_t} r1 r2- ^• n-> o

s s1 Sft_o Sfc_i Sl V ^• Sfc_, Ü 0 tl- ^• 4—2 4-i

h

h^{' •} 4-1 ^t

S îl1 Mk-2 Uls-1 U-Lu2^• »ft-1 t

, Grenzfall

Grenzfall

Grenzfall

Grenzfall

wo die in diesen

Zusammenstellungen

auftretenden verschiedenen Größen

unabhängig

^{sein sollen. Es ist zu}

vermuten,

^{daß in der}

— 19 ^—

letztreduzierten Form der

Zuordnung

^{Z die}

obigen Gebilde,

^die

*wir in der

Folge

^als r-, s-, t- und M-Ketten bezeichnen und die offenbar keiner weitern

Vereinfachung

^durch

Umformung

^zu¬

gänglich ^sind,

^als

Hauptabschnitte

auftreten werden.

Eine weitere

ausgezeichnete Zusammenstellung

^{von Größen¬}

paaren erhalten wir

dadurch,

^{daß wir zwei in ihren Gebieten} übereinstimmende

Größengruppen

einander zuordnen.

nii^' m2^{'•• " •} mp nix m2 ^{• •} mp

wo L m'J ⁼

["•]•

Ein solcher Abschnitt wird sich durch

Umformung

^offenbar

nur wieder in solche

Hauptabschnitte zerlegen lassen,

^{die in}

gleicher

^Weise charakterisiert sind. Daraus

folgt,

^{daß kein}

Hauptabschnitt

^eines solchen Abschnittes mit einer der

obigen

Größenketten identisch sein kann.

Dagegen

läßt sich ein be¬

sonders einfacher Abschnitt der letzterwähnten Art dadurch her¬

stellen, ^{daß wir die} beiden

additionseinigen Zusammenstellungen

von

Größenpaaren

m'

m

m';

=

IVi W% ^• wk

0 w₁^• Wk-l

(l^Q)

^und

in denen _{u\, tv2,•••,«>*}

unabhängige

^Größen

bedeuten,

^zusammen¬

addieren. Das Auftreten einer

einzigen,

^nicht eliminierbaren Kon¬

stanten und der einfache

gesetzmäßige

^{Aufbau läßt eine weitere}

Vereinfachung

^durch

Umformung

^{auch der} neuerhaltenen Kette

1 lw1 llV2 -\~Wl-

^{• •}

llV/c -\-

Wfc-1 Iw

I

u\ m>2 ^{• • •} Wk

|,

^{Grenzfall w}

(A 4=

^{0 ;} Wi, w2,---, Wk

unabhängig)

^als

unmöglich

erscheinen.

Wir werden daher auch das Auftreten dieser letztern Kettenals

Hauptabschnitte

^{in der} letztreduzierten Form der

Zuordnung

^Z

erwarten dürfen.

Allen fünfGrößenketten ist

gemeinsam,

^{daß die durch ver¬}

schiedene

Bezeichnungen

unterschiedenen Größen voneinander

unabhängig

^{sind und}

jeweilen

^das

Gesamtgebiet

des Abschnittes bestimmen.

Zwei

gleichgebaute

Größenketten lassen sich dadurch in¬

einander

überführen,

^{daß wir in der}

gegebenen Reihenfolge

^die

i-te durch einen Buchstaben bezeichnete Größe der einen Kette ersetzen durch die

i-te,

^{durch einen Buchstaben} bezeichnete Größe der andern Kette.

(„Äquivalente" Größenketten.)

Ausführung

^{der Reduktion.}

A. Die Reduktion der

Zuordnung

^{Z auf eine}

„geordnete"

^{Form. Die erste}

Vereinfachung,

^{die wir ander}

Zuordnung

^Z

vornehmen,

^{ist die} Elimination der

Abhängigkeits¬

beziehungen

^{der Zähler- und der}

Nennergrößen

^{unter sich. Ge¬}

geben

^sei

7 al #2^{'' '}an

—

fcj b2 bn

^.

Zähler und

Nennergebiet

^{von Z seien ein für} allemal bezeichnet mit 21 ^und

»,

21 ⁼

[fflu

a2,^{• •} •,

«„],

^iB-=

[bu lu

•,

&„].

Wir scheiden aus den

Zählergrößen

au a2,---, an eine

Größengruppe

aus, welche das

Zählergebiet

^{21 bestimmt. Dann}

können wir, unter wiederholter

Anwendung

^von

^Operation

^{c, zu}

jedem

^der

übrigen

^Zähler

(die

^{also von den}

herausgegriffenen abhängig sind)

^eine solche lineare Kombination der

herausge¬

griffenen

^{addieren, daßdie}Summe verschwindet.

(Man vergl. § 1,3.)

Unter

Vertauschung

^der

Stellung

^von

Größenpaaren

erhalten wir damit für Z die Form:

at' a2',

^•

-ar'

^{0 0}

èj 52

>

" • •

br

^br+i

-bn

,

wo die

Zählergrößen «/, a2'•

^{• -, ar}

(das

^{ist die}

herausgegriffene- Größengruppe) unabhängig

^sind.

Die Reduktion des Nenners nehmen wir in zwei Schritten,

vor. Wir ersetzen erstens die Größen

b'r+u b'r+2, -,bn

^durch

eine deren Gebiet bestimmende

Gruppe

b°⁼

(fl?, %•&?)

— 21 ^—

und weitere n—r—tNullen. Weiter

greifen

^{wir aus} den Nennern

hi, &2',-

^• -,

br', bl, hl,

,

b°,

^eine

Gruppe heraus,

^{welche die} Größen

b°„

ⁱ⁼ l,

2,-

^•-, t umfaßt und das

Nennergebiet

^{93 be¬}

stimmt. Die

übrigen

Nenner eliminieren wir auf

analoge Weise,

wie wir vorhin die

abhängigen Zählergrößen beseitigten.

^Indem wir wiederum noch eine

Umstellung

^der

Größenpaare vornehmen, bringen

wir Z auf die Gestalt:

Z ^{(J/\ dn}

" 0 0

•du di d<i^• .„oo 0---0 0---0 0

?>? 6g

^{• - -}

6?

^{0- - •0}

Darstellung

^{von Zähler und}

h" b./---bu"

^{0 0}

womit der ersterstrebte Zweck,

Nenner der

Zuordnung

^durch

unabhängige

^{Größen und Nullen,}

erreicht ist.

(Die unabhängigen

^Größen

a", a°k,

^{i =}

1,

2,- ^• -, u;

k ⁼ 1,

2,-

^• -, s vertreten die Stelle der

Größengruppe

^{a' =}

(ai, ai,-

^• •,

a,.'),

^{sodaß alsou}

-\-

^{s = r ist.}

Eine

Zuordnung,

^{die aufdie}

obige

^Form

gebracht

^{ist, heißen}

wir

geordnet,

^{und wir}

sprechen

^{etwa von einer}

geordneten

Form der

Zuordnung

^Z.

Wir unterdrücken weiterhin die obern Indizes in den Größen¬

bezeichnungen a/', bi",

^{schneiden denaus}

Nullenpaaren

bestehenden

Abschnitt,

^{der in den}

folgenden Ausführungen

keine Rolle

spielt,

ab und schreiben

Z oder

tt| 6*2^'

•a°,

^{0 0- 0} (*! a2 •au 0 0 ^• •0

bïb°2- W, h V

b«

a°

0 0 a

b" b

Die Gebiete der

Größengruppen

^{a° =}

(a°, a\,

^{• •} •,

a0,),

^{b° =}

(b<, &?.,••, &?)

^{heißen die}

Nullgebiete

^der

Zuordnung

^Z.

Die letzte Form der

Zuordnung

^{Z läßt als sehr} wahrschein¬

lich

erscheinen,

^{daß die}

Zuordnung

^{sich durch}

Umformung

^restlos

in lauter solche

Hauptabschnitte zerlegen läßt,

welche die Form der früher

angegebenen

Größenketten besitzen. Die

Spitzen

^der

r-, ^s- und ^-Ketten würden die

Nullgebiete bestimmen,

^während

die

übrigen Größenpaare

^dieser

^Ketten,

^{sowie die u-} und w-Ketten den massiven Teil

a

b ausmachen würden.

Wir werden weiterhin nur noch solche

Umformungen

^zu¬

lassen,

^{die das Erreichte nicht wieder} zerstören. Das kommt auf die

Ausführung

^der

folgenden

^drei

Operationen

^heraus:

I.

Ersetzung

^der

GröEengruppe

^{a° oderder}

Größengruppe

^b°

durch eine andere

gleiehgebietige GröEengruppe (Operation

^{I im}

Zahler bezw.

Nenner).

II. Addition einer Große des

Nullgebietes

^{o° =}

[a°]

^zu

einer Größe der

Gruppe

^a

(Operation

^{II im}

Zähler)

^{oder einer}

Größe des

Nullgebietes

^{f>° =}

[b°]

^{zu einer Größe der}

Gruppe

^b

(Operation

^{II im}

Nenner).

III. Kombinierte

Anwendung

^der

Operationen

^a,

^b,

^c

auf

den Abschnitt

.

(Operation III).

Hervorzuheben

ist,

^{daß die}

obigen

^drei

Operationen

^die

Unabhängigkeit

^{der Größen in Zähler} und Nenner der

geordneten Zuordnung

^{Z in} keiner Weise antasten.

Als Abschnitte von Z werden wir weiterhin nur noch solche Abschnitte ins

Auge fassen,

^{die aus}

irgend

^einer

geordneten

^Form

der

Zuordnung herausgegriffen

^{sind und daher selbst wieder eine}

geordnete

Form besitzeu. Der zu einem solchen Abschnitte zu¬

gehörige Komplementärabschnitt

^{innerhalb Z soll den erstem zu}

einer

geordneten

^{Form von Z}

(mit Vernachlässigung

^{der Nullen¬}

paare) ergänzen.

Eine

wichtige

^Rolle

spielt

in den weiteren

Reduktionen,

^die wir an der

Zuordnung

Z vornehmen

werden,

^die

Ersetzung

ge¬

gebener

Abschnitte durch solche Abschnitte

gleicher Natur,

^die

in Zähler

ocfer

Nenner

vorgeschriebene Größengruppen

^aufweisen.

Sehr

häufig

^zur

Anwendung gelangende

^{Fälle solcher Substitu¬}

tionen sind die zwei

folgenden

^:

23

I. Es sei

aî

⁰ a1

a/

0

b? bi h/

einAbschnitt einer

geordneten Zuordnung,

^{der auch mit derselben}

zusammenfallen

^Tcann.

(Die

^einander

zugeordneten Größengruppen

&x,

bi

^{und die}

Gruppen a?, b?

^{können eventuell}

verschwinden.)

Dann läßt sich der

Komplementärabschnitt

a/ a?

⁰ ai

a?

⁰ ai

a/

b/

^{von 0}

bî bi

^{innerhalb 0}

bî bi bx'

(unter Berücksichtigung

^von

^H.H.)

vermittelst der

OperationenIII

und II im Zähler

(Nenner)

^{durch einen solchen}

gleichartigen Komplementärabschn

^itt

a/

K

ersetzen, ^{dessen Zähler}

(Nenner)

^{aus einer}

vorgeschriebenen Komplementärgruppe

^der

Zählergebiete [a°, at]

^und

[aî,

ax,

at']

{Nennergebiete [b?, bj

^und

[bî, b1( b/P ^besteht,

^{sodaß also}

gilt

^:

aî

⁰ ai

a/

0

b? bj b/

(Substitution I).

II. Es seien

a?

⁰ ai

a/

0 b»

bj b/

und 7i2 ⁼

a?

⁰ a2 0

bg b2

0

b? bi

zwei Abschnitte von Z, ^{die aus zwei} verschiedenen

geordneten

Formen der

Zuordnung herausgegriffen

^{sind, von} der besonderen

Beschaffenheit,

^{daß Zähler- und}

Nennergebiet

^von

Z2

^enthalten

sind in den

gleicJibenannten

^{Gebieten von}

Zi.

Dann läßt sich vermittelst der

Operationen I,

II und III der Abschnitt

Z2

^als Abschnitt innerhalb

'Ly herstellen,

^{sodaÊ man} etwa setzen kann:

a» 0 a2

ÏJ

⁰

äi

Ll ^~ 0 b°

b2

⁰

b? bi

(Substitution II.)

(Beweis

^{: Setzen wir die}

Größenpaare

^von

Z2

^{aus denGrößen-}

paaren ^von

Zi

und eines

zugehörigen Komplementärabschnittes

innerhalb Z linear _zusammen, sokönnen in diesen Kombinationen

zufolge

^der

gemachten Voraussetzung

^die

Größenpaare

^{des Kom¬}

plementärabschnittes

nicht auftreten. Es sind daher die Größen- paare ^von

Z2

ausschließlich lineare

homogene

^{Funktionen der}

Größenpaare

^von

ZlÉ)

Zi\7i1,

resp.

Z2 {{ Zx

^{soll bedeuten:}

Z2

^{läßt sich in}

Zt

^als Abschnitt herstellen.

(Man

^lese:

Z2 eingekapselt

ⁱⁿ

Ti1. Umge¬

kehrt _sagen

wir,

^{wenn wir schreiben:}

Zj \Zt,

resp.

Zx \\ Z2, Zx umkapsle Z2.)

Hinsichtlich der

Anwendungen

^von Substitution II ist fol¬

gender

^{Hilfssatz von}

Bedeutung

^:

H. IV. Sind die Zähler

gebiete (Nennergebiete)

^{zweier Ab¬}

schnitte der

Zuordnung

^{Z ineinander}

eingekapselt,

^{so sind die}

Nennergebiete (Zahlergebiete)

^{dieser Abschnitte in}

gleicher

^Weise

ineinander

gekapselt,

^{wenn sie das}

Nennernullgebiet (ZählernuU- gebiet)

^der

Zuordnung umfassen.

Beweis. Es

mögen,

^wenn

5^, 931( 2l2, 532

die Zähler-und

Nennergebiete

^{der Abschnitte}

Zx

^und Z2 ^von

Z,

^{b° das Null¬}

gebiet

^{im Nenner von Z}

bedeuten,

^die

Beziehungen gelten 3l8^3li,

*! }• ^{6°, 3S8} [

^b°.

Pa im Zähler eiues

Komplementärabschnittes

^von

Zx

^inner¬

halb Z unter der

gemachten

^Annahme:

^ J>

^{J>° nur}

unabhängige

Größen und keine Nullen

auftreten,

^{so können in einer linearen}

Zusammensetzung

^der

Größenpaare

^von

Z2

^{aus den}

Größenpaaren

von

Zj

^{und eines}

zugehörigen Komplementärabschnittes zufolge

der

Voraussetzung %2 {^-i

^{nur die}

Größenpaare

^von

Zx

^auf¬

treten.

(Die Gültigkeit

des Satzes für

umgekehrte

Zeilenverhält¬

nisse versteht sich von selbst wegen ^der

symmetrischen

^{Kolle von}

Zähler und

Nenner.)

B. Die

Zerfällung

^der

geordneten Zuordnung

in Größenketten. Nachdem wir in Zähler und Nenner von

Z die

Abhängigkeitsbeziehungen

^eliminiert

haben, verfolgen

^wir

nun das Ziel, ^{aus den}

Gruppen

der Zähler- und

Nennergrößen

— 25 ^—

von Z

gleichzeitig

^das

Schnittgebiet [21 f\ ^33]

^der

^Zuordnung

ⁱⁿ

Gestalt

repräsentierender Größengruppen

herauszuarbeiten. Diesem Ziele suchen wir dadurch näherzukommen, daß wir aus der Zu¬

ordnung

^durch

eigenartige Konstruktionsmethoden,

^{die wesentlich}

auf dem Ausscheiden

ausgezeichneter Schnittgebiete

^{im Zähler}

von Z

beruhen, Systeme

^von

ineinandergekapselten

Abschnitten herstellen, ^für welche wir dann durch

zweckmäßige Umformung

erreichen

können,

^{daß sich aus ihnen die in der}

Einleitung

dieses

§ angeführten

Größenketten

abspalten.

In letztern aber ist das für die

Zuordnung

Z erstrebte Ziel verwirklicht.

I.Teil.

Abspaltung

^{der s- und u-Ketten.}

1.

Herstellung

^eines

Systems ineinandergekapselter

Abschnitte.

1. Schritt.

Gegeben

^sei:

0 a0 a

b°0 b

Wir bestimmen die

Schnittgebiete

^des

Nennergebietes

^$3=

[b°, b]

mit den im Zähler auftretenden Gebieten a° ⁼

[a°]

^{und 91 =}

[a°, a]

^:

rj8Aa°]

⁼

^a?, [»A3l]

⁼

^3ti

und suchen weiter eine

Komplementärgruppe

^at der beiden letzten

ineinandergekapselten

^Gebiete

^auf, 3ti

⁼

a? + [a1].

Wegen

H. Ill läßt sich ^nun die

Komplementärgruppe

^avon

a° innerhalb 31 unter

Anwendung

^{von H. II durch} eine solche

gleichartige

ersetzen, ^{welche die}

Gruppe

a! als Abschnitt ent¬

hält,

21 ⁼

[a°,

alt

*]

(wo

^{der Stern eine}

ergänzende Komplementärgruppe

^bedeuten

soll).

^{Indem wir dies im Zähler von} Z vermittelst Substitution ^I durchführen und

gleichzeitig

^{aus a° das Gebiet}

^et?

^aussondern

(Operation

^{I im}

Zähler),

^{scheiden wir aus Z den} Abschnitt heraus ^: