Man zeige (A∪B)′ =A′∩B′ und (A∩B)′ =A′∪B′

Analysis in einer Variable f¨ur LAK F. Hofbauer

Mengen und Abbildungen

1. Man beweise A∪(A∩B) =A und A∩(A∪B) =A.

2. Man beweise A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) und A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).

3. Man beweise (A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A) = (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A).

4. Man zeige (A∪B)^′ =A^′∩B^′ und (A∩B)^′ =A^′∪B^′. 5. Man beweise A^′∆B^′ =A∆B.

6. Man beweise A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C).

7. Sei f :A →Beine Abbildung. Sei U ⊆A undV ⊆A. Man beweise f(U∪V) =f(U)∪f(V) und f(U ∩V)⊆f(U)∩f(V). Hinweis: x ∈f(C) ⇔ es gibt ein y∈C mit f(y) =x

8. Sei f : A → B eine Abbildung und U ⊆ A und V ⊆ B. Man zeige U ⊆ f⁻¹(f(U)) und V ⊇f(f⁻¹(V)). Hinweis: x∈f⁻¹(C) ⇔ f(x)∈C

9. Ist f in Beispiel 8 injektiv, dann gilt U = f⁻¹(f(U)). Ist f in Beispiel 8 surjektiv, dann gilt V =f(f⁻¹(V)).

10. Sei f :A→B eine Abbildung und V ⊆B. Man zeige f⁻¹(B\V) =A\f⁻¹(V).

11. Sei f : A → B eine Abbildung und U und V Teilmengen von B. Man zeige f⁻¹(U ∪V) = f⁻¹(U)∪f⁻¹(V) undf⁻¹(U ∩V) =f⁻¹(U)∩f⁻¹(V).

12. Sei f :A→B eine Abbildung (A und B endliche Mengen). Man zeige f ist injektiv ⇔ es gibt eine Abbildung g:B →A mit g◦f = id f ist surjektiv ⇔ es gibt eine Abbildung g:B →A mit f ◦g= id

f ist bijektiv ⇔ es gibt eine Abbildung g:B →A mit g◦f = id undf ◦g= id

Z¨ahlen

13. Man zeige |A∪B|=|A|+|B| − |A∩B|, wobei |C|die Anzahl der Elemente vonC bezeichnet.

14. Man zeige, dass die Menge N×Nabz¨ahlbar ist. Man folgere, dass die MengeQder rationalen Zahlen abz¨ahlber ist. Hinweis: Die Abbildung (m, n)7→2^m−1(2n−1) von N×N nach N ist bijektiv.

15. Seien A und B Mengen mit |A| =a und |B|= b. Sei F die Menge aller Abbildungen von A nach B. Man zeige |F|=b^a.

16. SeienAundB Mengen mit|A|=a und|B|=b. SeiG die Menge aller injektiven Abbildungen von A nach B. Man zeige |G|=b(b−1)(b−2). . .(b−a+ 1), wennb≥ a gilt. F¨ur b < a ist G leer.

Induktion

17. Man zeige n² <2ⁿ f¨ur n∈ {5,6,7, . . .}. 18. Man zeige ∑n

k=1k² = n(n+1)(2n+1)

6 f¨ur n∈N. 19. Man zeige ∑n

k=1(2k−1)² = (2n−1)2n(2n+1)

6 f¨ur n∈N.

20. Man zeige ∑n

k=1k³ = ^n2(n+1)₄ ² f¨ur n∈N. 21. Man zeige ∑n

k=1(−1)^k−1k² = (−1)^n−1n(n+1)₂ f¨ur n∈N. 22. Man zeige ∑n

k=1 1

k(k+1) = 1− _n+1¹ f¨ur n∈N. 23. Man zeige ∑n

k=1 k

2^k = 2− ⁿ⁺²₂n f¨ur n∈N.

24. Man zeige (1 +x)ⁿ≥1 +nx f¨urx ≥ −1 undn∈N. 25. Man zeige (1−x)ⁿ< _1+nx¹ f¨ur 0< x <1 und n∈N.

26. Sei M eine Menge mit |M| = m. F¨ur 0 ≤ n ≤ m sei Tn(M) die Menge der n-elementigen Teilmengen von M. Man zeige |Tn(M)|=(_m

n

). Hinweis: Seia ∈M und K =M \ {a}. Dann gilt Tn(M) =Tn(K)∪ {L∪ {a}:L∈ Tn−1(K)}.

27. Man zeige (1 +x)ⁿ=∑n k=0

(_n

k

)x^k f¨ur x∈R und n∈N. 28. Man zeige ∑n

k=0

(_m+k

k

)=(_m+n+1

n

) f¨ur m∈N0 undn∈N0. 29. Man zeige ∑n

k=m

(_k

m

)=(_n+1

m+1

) f¨ur n≥m.

30. Man berechne aundbso, dass k² =a(_k

2

)+b(_k

1

)f¨ur allek ∈Ngilt. Man beachte, dass(_u

v

)= 0 gilt, wenn u < v. Mit Hilfe von Beispiel 29 berechne man ∑n

k=1k². 31. Man berechne a, b und c so, dass k³ = a(_k

3

)+b(_k

2

)+c(_k

1

) f¨ur alle k ∈ N gilt. Man beachte, dass (_u

v

)= 0 gilt, wenn u < v. Mit Hilfe von Beispiel 29 berechne man ∑n k=1k³. 32. Man zeige 2√

n+ 1−2<∑n k=1

√1

k <2√

nf¨ur n∈N.

Indirekter Beweis 33. Man zeige, dass √

2 keine rationale Zahl ist.

34. Man zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

35. Man zeige, dass die Menge [0,1) nicht abz¨ahlbar ist.

Addition, Multiplikation

36. Man verwandle 0.11123123123. . . in einen Bruch und ₂₇⁵ in eine Dezimalzahl.

37. Man berechne die Summe der beiden periodischen Dezimalzahlen 0.789789. . .+ 0.565656. . . und ¨uberpr¨ufe das Ergebnis mittels Bruchrechnung.

38. Man berechne das Produkt von x= 0.111. . . und y= 0.333. . ..

39. Sei x = 0.0235721. . . und y = 2.3496281. . .. Wie groß muss man n w¨ahlen, damit das Produkt der aufnDezimalstellen gerundeten Zahlen die ersten 5 Dezimalstellen vonxyrichtig wiedergibt?

40. Sei x = 23.235721. . .. Wie groß muss man n w¨ahlen, damit die Inverse der auf n Dezimal- stellen gerundeten Zahl die ersten 7 Dezimalstellen von ¹_x richtig wiedergibt?

Aquivalenzumformungen¨

41. F¨ur a und b in R⁺ zeige man _a+b^2ab ≤√

ab≤ ^a+b₂ ≤√

a²+b² 2 . 42. Man zeige f¨ur a, b, c, d >0, dass √

(a+c)(b+d)≥√

ab+√

cd gilt.

43. Man zeige f¨ur a, b >0, dass √

a+b≤√ a+√

b≤ ^√a_b + √^b a gilt.

44. Man bestimme alle x∈R, f¨ur die |x| ≤ ^x₂ + 1 gilt.

45. F¨ur welche x∈R gilt 2x²−2≤x²−x?

46. F¨ur welche x∈R gilt ^2+x_x−2 <3?

47. F¨ur welche x∈R gilt ^3x+3_x−1 < x+ 1?

48. Man bestimme alle x∈R, f¨ur die ^x+4_x−1 > _x+1⁵ gilt.

49. Man l¨ose ||x| −2|<1.

50. Man l¨ose (x+ 5)(x+ 2)²(x−1)(x−3)≤0.

51. Man bestimme die Menge aller Punkte (x, y)∈R² f¨ur die x−3y > 2 und x+y≤1 gilt.

52. F¨ur welche (x, y)∈R² gilt |x|+|y| ≤1?

53. F¨ur welche (x, y)∈R² gilt |x| − |y| ≤2?

Intervallschachtelung

54. Sei x > 0. Seien a₁ und b₁ so gew¨ahlt, dass 0 < a₁ < b₁ und a₁b²₁ = x gilt. F¨ur n ≥ 1 sei bn+1 = ¹₃an+ ²₃bn und an+1 = _b2^x

n+1

. Man zeige, dass bn+1−an+1 = ^a_27b^n+8b2 ⁿ n+1

(an−bn)² gilt.

Man folgere, dass die Intervalle [an, bn] eine Intervallschachtelung bilden. Es gibt genau einen Punkt y, der in allen Intervallen enthalten ist. Wegen a_nb²_n =x f¨ur alle n folgt y³ = x. Wir haben also ein Intervallschachtelung f¨ur √³

x gefunden.

55. Seien c1 = 1, a1 = 2 und b1 = 3. F¨ur n ≥ 1 sei cn+1 = _n+1^cn , an+1 =an+cn+1 und bn+1 = a_n+1+ ^c_n+1ⁿ⁺¹. Man zeige, dass b_n+1 = b_n− _n(n+1)^cn+1 gilt. Daher bilden die Intervalle [a_n, b_n] eine Intervallschachtelung. Es gibt genau einen Punkt, der in allen Intervallen enthalten ist.

Wegen an= 2 + _2!¹ + _3!¹ +· · ·+ _n!¹ ist das die Eulersche Zahl e.

56. Sei x > 0. Seien c1 = x, a1 = 1 + x und b1 = 1 + 2x. F¨ur n ≥ 1 sei cn+1 = _n+1^cnx, a_n+1 =a_n+c_n+1 und b_n+1 =a_n+1+c_n+1. Man zeige, dass b_n+1 =b_n−c_n+1(ⁿ⁺¹_x −2) gilt.

Daher bilden die Intervalle [an, bn] f¨ur n ≥ 2x−1 eine Intervallschachtelung. Es gibt genau einen Punkt, der in allen Intervallen enthalten ist. Wegen a_n = 1 +x+^x_2!² +^x_3!³ +· · ·+ ^x_n!ⁿ ist das die Zahl e^x.

57. Sei x > 1. Wir suchen eine Intervallschachtelung f¨ur die Fl¨ache Fx unter dem Graph der Funktion f(y) = _y¹ in den Grenzen von 1 bis x. Sei k ≥ 1. F¨ur 1 ≤ m ≤ k sind die Rechtecke (√^k

x^m−1,√^k

x^m] × [0,1/√^k

x^m] disjunkt und liegen unterhalb des Funktions- graphen. Ihre Gesamtfl¨ache ist rk = k(1− √k¹

x). Ebenso f¨ur 1 ≤ m ≤ k sind die Rechtecke (√^k

x^m−1,√^k

x^m]×[0,1/√^k

x^m−1] disjunkt und ragen ¨uber den Funktionsgraphen hinaus. Ihre Gesamtfl¨ache ist s_k =k(√^k

x−1). Daher gilt r_k≤F_x ≤s_k f¨ur allek ≥1.

58. F¨ur n≥ 0 sei a_n = r₂ⁿ und b_n = s₂ⁿ, wobei r_k und s_k wie im letzten Beispiel sind. Es gilt a₀ = 1−¹_x und b₀ =x−1. F¨ur n≥0 zeige mana_n+1 = ^2an

√b_n

√an+√

bn undb_n+1 = ^2bn

√an

√an+√

bn. Aus dem letzten Beispiel folgt an < bn f¨ur alle n. Damit zeige man an < an+1 und bn > bn+1. Weiters zeige man, dass b_n+1 −a_n+1 < ¹₂(b_n−a_n) gilt. Die Intervalle [a_n, b_n] bilden daher eine Intervallschachtelung f¨ur Fx, wobei das n¨achstfolgende Intervall jeweils h¨ochstens halb so lang ist wie das vorhergehende.

59. Man zeige (1 + _n¹)ⁿ < (1 + _n+1¹ )ⁿ⁺¹ f¨ur n ∈ N. Hinweis: Beide Seiten nach Beispiel 27 entwickeln und die Summanden vergleichen.

60. Man zeige (1 +_n¹)ⁿ⁺¹ >(1 +_n+1¹ )ⁿ⁺² f¨urn∈N. Hinweis: Ist ¨aquivalent zu (1 +_n2+2n¹ )ⁿ⁺¹ >

1 + _n+1¹ . Jetzt Beispiel 24.

61. Sei a_n = (1 + _n¹)ⁿ und b_n = (1 + _n¹)ⁿ⁺¹ f¨ur n ∈ N. Es gilt a₁ < a₂ < a₃ < . . . und b1 > b2 > b3 > . . . wegen der beiden letzten Beispiele, und außerdem an < bn f¨ur alle n≥1.

Man zeige b_n −a_n < ^b_n¹ f¨ur n ∈ N. Die Intervalle [a_n, b_n] bilden eine Intervallschachtelung mit einem eindeutig bestimmten inneren Punkt.

Grenzwerte von Folgen

62. Man bestimme den Grenzwert der Folgen (falls er existiert)

3n²−n+2

2n²−1 , ⁽ⁿ⁻2)(2n+1)(3n+3)

(4n²+1)(2n−1) , ⁽ⁿ⁺¹⁾_3n³2⁻ⁿ³, ²ⁿ_n2³+1⁺⁴

63. Man bestimme den Grenzwert der Folgen (falls er existiert)

√n+ 1−√ n, √

n(√

n+ 1−√ n), 64. Sei a1 = 2 und an+1 = √³

3an−1 f¨ur n≥ 1. Man zeige, dass diese Folge monoton fallend ist und a_n≥1 f¨ur alle ngilt. Daher existiert lim_n→∞a_n.

65. Sei a₁ = 1 und a_n+1 = ¹₆(a⁴_n+a²_n+ 1) f¨ur n≥1. Diese Folge ist monoton fallend und durch 0 nach unten beschr¨ankt. Der Grenzwert existiert und ist eine L¨osung vonx⁴+x²−6x+ 1 = 0.

Fibonaccizahlen

66. Sei a0 = a1 = 1 und an = an−1 +an−2 f¨ur n ≥ 1. Die Zahlen a0, a1, a2, . . . nennt man Fi- bonaccizahlen. F¨ur n≥1 sei w_n= _a^an

n−1. Das sind die Wachstumsraten der Fibonaccizahlen.

Man zeige w1 = 1 und wn = 1 + _w¹

n−1 f¨ur n≥2.

67. F¨ur die Zahlen wn aus Beispiel 66 zeige man ³₂ ≤wn≤2 f¨ur n≥2 durch Induktion.

68. Man zeige w1 < w3 < w5 < . . . und w2 > w4 > w6 > . . . indem man zuerst wn < wn+2 ⇒ w_n+1 > w_n+3 und w_n > w_n+2 ⇒ w_n+1 < w_n+3 beweist.

69. Aus Beispiel 67 und Beispiel 68 folgt, dassu= lim_k→∞w_2k−1 undv= lim_k→∞w_2k existieren.

Mit Hilfe von Beispiel 67 zeige man |wn+1 −wn+2| ≤ ⁴₉|wn −wn+1| f¨ur n ≥ 2 und folgere u=v. Somit existiert auch limn→∞wn und ist gleich u.

70. Man zeige, dass u = 1 + ¹_u f¨ur den Grenzwert u aus Beispiel 69 gilt und berechne u.

Funktionen

71. Man bestimme den gr¨oßtm¨oglichen Definitionsbereich der folgenden Funktionen:

f(x) = ₄₋^2x_x2, f(x) =

√ 1 9−x²

72. Sei f : R → R durch f(x) = x² definiert. Man bestimme f(R), f([0,2]), f([−2,1]), f⁻¹({0,1,2}), f⁻¹([0,1])

73. Seien f und g auf R durch f(x) =x²+ 1 und g(x) = 2x+ 1 definiert. Man bestimme f ◦g und g◦f.

74. Man berechne Nullstellen, horizontale, vertikale und andere Asymptoten der folgenden Funk- tionen und skizziere aus diesen Informationen deren Graphen: _4+2x^1−x , ^x2−_x−^3x+5₃ .

75. Ebenso: ¹_x − ₁₋¹_x = _x(1¹⁻₋^2x_x) 76. Ebenso: _x^x+13−4x

77. Sei f : R → R eine Funktion. Wie ist der Graph der folgenden Funktionen gegen¨uber dem Graph von f ver¨andert: x 7→3f(x)−1, x 7→f(x+ 2), x7→f(5x)

78. Man zeige, dass folgende Funktion eine Umkehrfunktion besitzt und bestimme diese. Man skizziere den Graphen: f(x) = ^2−x_x mit Definitionsbereich D = (0,∞)

79. Ebenso: f(x) =√

1−x² mit Definitionsbereich D= (0,1)

80. Man bestimme Definitionsbereich und Umkehrfunktion von f(x) = ¹₂log ^2+x_2−x.

Zwischenwertsatz

81. Man zeige, dass f(x) =x⁴−x−1 im Intervall [1,2] mindestens eine Nullstelle besitzt.

82. Man zeige, dass jedes Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten mindestens eine reelle Nullstelle hat.

83. Man zeige, dass jede stetige Abbildung g eines Intervalls [a, b] in sich einen Fixpunkt hat, indem man den Zwischenwertsatz auf die Funktion x7→g(x)−x anwendet.

Grenzwerte von Funktionen

84. Man berechne die Limiten (falls sie existieren): lim_x→1 ^x_x³₋⁻₁¹, lim_x→1 ^x_xⁿ₋⁻₁¹, lim_x→1 ^x_x²3⁻−¹1

85. Die Funktion f(y) = ¹_y(√

1 +y−√

1−y) ist auf D = (−1,1)\ {0} definiert. Man berechne lim_y→0f(y).

Ableitung

86. Man differenziere: x²√ x, √³

x(1 +x²)

87. Man differenziere: (x−1)³(2x+ 3)⁴(x+ 1)² 88. Man differenziere: _2x^x4²−1, ^ax+b_cx+d

89. Man differenziere: ^x2+ax+b_xn , ^(x+5)_(x−7)⁷5

90. Man differenziere: ³

√x−√ x 3+x

91. Man differenziere: √

x²+x+ 2, x²√

1 + 3x² 92. Man differenziere: (3 + 2√

x)²,

√4+x 1−x

93. Man differenziere:

√ x+√

x+√ x.

94. Man bestimme die Gleichung der Tangente an die Kurve f(x) =√

1−x² im Punkt x= ³₅. 95. Man bestimme den Schnittpunkt der Tangente an den Graphen von (x+ 2)(x−1)² im Punkt

(−2,0) mit der y-Achse.

96. Man bestimme die Gleichung der Normalen an den Graph der Funktion 2x+ _x⁴2 im Punkt x= 1.

Monotonieverhalten von Funktionen

97. In welchen Bereichen ist die Funktion _4+x^x 2 monoton wachsend bzw. fallend?

98. Wo ist die Funktion _1−x^3x22 definiert? Wo ist monoton wachsend? Wo monoton fallend?

99. F¨ur x ∈ R und n ∈ N mit n > −x zeige man (1 + ^x_n)ⁿ ≤ (1 + _n+1^x )ⁿ⁺¹, indem man das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = (1 +_n+1^x )ⁿ⁺¹/(1 + _n^x)ⁿ auf (−n,∞) untersucht.

100. F¨ur x∈[0,1] undn∈N zeige man (1 + ^x_n)ⁿ⁺¹ ≥(1 +_n+1^x )ⁿ⁺², indem man das Monotoniev- erhalten der Funktion f(x) = (1 + _n+1^x )ⁿ⁺²/(1 + _n^x)ⁿ⁺¹ auf [0,1] untersucht.

101. Sei f :R→R definiert durch f(x) = (1 +x²)^α. F¨ur welcheα ∈R ist f konvex?

Extremwertaufgaben

102. Man bestimme das Rechteck mit maximalen Fl¨acheninhalt, das dem Einheitskreis eingeschrie- ben werden kann.

103. Einem Halbkreis ist ein gleichseitiges Trapez mit maximalem Fl¨acheninhalt einzuschreiben.

104. Der Ellipse ^x_a²2+^y_b²2 = 1 ist ein achsenparalleles Rechteck von maximalem Umfang einzuschrei-

ben.

105. Einem gleichseitigen Dreieck mit H¨ohenfußpunkt H ist das fl¨achengr¨oßte gleichschenkelige Dreieck mit Spitze in H einzuschreiben.

106. Welcher Punkt der Hyperbel y²−x² = 1 hat die kleinste Entfernung vom Punkt (1,0)?

107. Seien a1, a2, . . . , an ∈R. F¨ur welches x ist ∑n

k=1(x−ak)² minimal?

108. Lichtreflexion: Seien P1 und P2 zwei Punkte in der Halbebene {(x, y) : y > 0}. Gesucht ist der k¨urzeste Weg vonP1 nach P2, der einen Punkt der x–Achse enth¨alt.

109. Einer Kugel mit Radius r ist ein Zylinder mit maximalem Volumen einzuschreiben.

110. Einer Kugel mit Radius r ist ein Kegel mit maximalem Volumen einzuschreiben.

111. Einer Kugel mit Radius r ist eine quadratische Pyramide mit maximalem Volumen einzu- schreiben.

112. Bienenzelle: Eine regelm¨aßige sechsseitige S¨aule ist durch ein aus drei kongruenten Rhomben bestehendes Dach so abzuschließen, dass die Oberfl¨ache des entstehenden K¨orpers bei vorge- gebener Grundfl¨ache und vorgeschriebenem Rauminhalt m¨oglichst klein wird.

Exponentialfunktion, Logarithmus, trigonometrische Funktionen 113. Man differenziere: xlogx, x²sinx

114. Man differenziere: cotx, _cos^sin32^xx

115. Man differenziere: log(1 +x²), e^x−logx 116. Man differenziere: sin²(x³+ 1)

117. Man differenziere: √

x²+ cos³√ x

118. Man berechne log(xe^x), e^logx+logy, log_e¹2x, e^{−2 logx} 119. Man zeige√

x−^√1_x−logx >0 f¨urx >1, indem man das Monotonieverhalten dieser Funktion untersucht. Sei a ̸= b und a, b > 0. Setzt man x = ^a_b, wenn a > b, und x = ^b_a, wenn a < b, dann erh¨alt man die Ungleichung ^loga_a⁻₋^log_b ^b < √¹

ab.

120. Man zeige, dass arctanx+arctan_x¹ = ^π₂ f¨ur allex >0 gilt, indem man das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = arctanx+ arctan_x¹ auf dem Intervall (0,∞) untersucht.

121. Man zeige, dass x−x² ≤log(1 +x)≤x f¨ur x∈(−¹₂,∞) gilt, indem man das Monotoniever- halten der Funktionen f(x) =x−log(1 +x) und g(x) = log(1 +x)−x+x² auf dem Intervall (−¹₂,∞) untersucht. Man schließe daraus, dass 1−x ≤ ¹_xlog(1 + x) ≤ 1 f¨ur x ∈ (0,∞) und 1− x ≥ _x¹ log(1 +x) ≥ 1 f¨ur x ∈ (−¹₂,0), also 1 − |x| ≤ ¹_xlog(1 + x) ≤ 1 + |x| f¨ur x∈(−¹₂,∞)\ {0}gilt. Daraus folgt lim_x→0 ¹_xlog(1 +x) = 1 und lim_x→0(1 +x)^1/x =e.

122. Aus dem letzten Beispiel folgere man limx→0 1

xlog(1 +ax) =a und limx→0(1 +ax)^1/x =e^a. 123. Sei α >0. F¨ur 0 < x <1 zeige man−logx≤ _α¹x^−α, indem man das Monotonieverhalten der

Funktion f(x) = _α¹x^−α+ logx untersucht. Es folgt limx→0x^clogx= 0 f¨ur alle c >0.

124. Seiα > 0. Man Zeige logx ≤ _α¹x^α f¨urx≥1, indem man das Monotonieverhelten der Funktion f(x) = _α¹x^α−logx auf dem Intervall [1,∞) untersucht.

125. F¨ur c >0 zeige man limn→∞ logn

n^c = 0 mit Hilfe von Beispiel 124.

126. Sei f : (0,∞)→Rdefiniert durch f(x) =xlogx. Man zeige, dass f konvex ist.

127. Die Funktion cos : (0,^π₂)→(0,1) ist streng monoton fallend und hat daher eine Umkehrfunk- tion arccos : (0,1)→(0,^π₂). Man berechne die Ableitung von arccos.

Eine Reihe

128. Man zeige _sin¹2x = ¹₄(_sin¹2 x 2

+ _cos¹2 x 2

) = ¹₄(_sin¹2x 2

+ ¹

sin^{2 π+x}₂ ) f¨ur x∈R. 129. Man zeige ₄¹n

∑2ⁿ k=1

1 sin^{2 (2k−1)π}

2n+1

= 1 f¨ur n≥ 1 durch Induktion nach n. Hinweis: x = ^(2k₂n+1^−1)π

in Beispiel 128.

130. Man zeige ₄²n

∑2ⁿ⁻¹ k=1

1 sin^{2 (2k−1)π}

2n+1

= 1 f¨urn≥1. Hinweis: Wegen sin(π−x) = sinx gilt f¨ur die Summe in Beispiel 129: erster Summand = letzter Summand, zweiter Summand = vorletzter Summand, dritter Summand = drittletzter Summand, . . .

131. Man zeige _sin¹2x > _x¹2 > _sin¹2x −1 f¨ur 0< x < ^π₂. Hinweis: sinx < x <tanx.

132. Man zeige 1 > _π⁸2

∑2ⁿ⁻¹ k=1

1

(2k−1)² > 1− ₂¹ⁿ f¨ur n ≥ 1. Hinweis: Man setze x = ^(2k−1)π₂n+1 in Beispiel 131 und summiere ¨uber k von 1 bis 2ⁿ⁻¹. Dann Beispiel 130.

133. F¨ur n ≥ 1 sei An = ∑2ⁿ k=1

1

k², Bn = ∑2ⁿ⁻¹ k=1

1

(2k)² und Cn = ∑2ⁿ⁻¹ k=1

1

(2k−1)². Man zeige An=Bn+CnundBn+1 = ¹₄An. Nach Beispiel 132 giltBn≤Cn ≤ ^π₈² und daherAn≤ ^π₄² f¨ur alle n, sodass A = lim_n→∞A_n, B = lim_n→∞B_n und C = lim_n→∞C_n wegen der Monotonie der Folgen existieren. Es folgt A =B+C und B = ¹₄A. Aus Beispiel 132 folgt C = ^π₈² und damit A= ^π₆². (Wir haben∑_∞

k=1 1

k² = ^π₆² gezeigt.) Regel von de l’Hospital

134. Man berechne limx→0 log(1−x)

sinx und limx→0 e^2x−e^x tanx

135. Man berechne lim_x→0 ^ex₁^+e_−cos^−x−_x² 136. Man berechne limx→0

√1+x²−cosx sin²x

137. Man berechne limx→0 2 cosx+e^x+e^−x−4 x⁴

Mittelungleichungen

138. Man zeige logx < x−1 f¨ur alle x∈(0,1)∪(1,∞).

139. Seien v₁, v₂, . . . , v_n ∈(0,∞) und V =∑n

j=1v_j. Es gilt log _nv^V

i = _nv^V

i −1, wenn v_i = ^V_n, und log _nv^V

i < _nv^V

i −1, wennvi ̸= ^V_n, wegen Beispiel 138. Sind die Zahlen v1, v2, . . . , vn nicht alle gleich, dann folgt ∑n

j=1 vi

V log _nv^V

i < ∑n j=1

vi

V (_nv^V

i −1). Man forme um, und zeige so, dass logV − _V¹ ∑n

j=1v_jlogv_j <logn gilt.

140. Seia1, a2, . . . , an ∈(0,∞). Seif(x) = (_n¹ ∑n

j=1a^x_j)^1x f¨urx∈R\{0}undf(0) = √ⁿ

a1a2. . . an. Sei g(x) = logf(x). Man zeige, dass g und damit f im Punkt 0 stetig ist (de l’Hospital).

141. Sind die Zahlen a1, a2, . . . , an alle gleich c > 0, dann zeige man, dass die Funktion f in Beispiel 140 konstant gleich c ist.

142. Seienf undgwie in Beispiel 140. Die Zahlena₁, a₂, . . . , a_nseien nicht alle gleich. Mit Hilfe von Beispiel 139 zeige manx²g^′(x)>0 f¨urx ̸= 0, sodassg und damitf streng monoton wachsend ist. Bemerkung: f(1) = arithmetisches,f(0) = geometrisches, f(−1) = harmonisches Mittel.

143. Sei 0 < a₁ ≤ a₂ ≤ · · · ≤ a_n. Man zeige, dass lim_k→∞(_n¹ ∑n

j=1a^k_j)^k1 = a_n gilt. Hinweis:

a^k_n≤∑n

j=1a^k_j ≤na^k_n. Ebenso limk→−∞(_n¹ ∑n

j=1a^k_j)^1k =a1. Integration

144. Partielle Integration: ∫

xe^xdx, ∫

logx dx (erg¨anze ∫

1·logx dx).

145. Substitution: ∫

xlog(x²)dx, ∫ ₁

ax−b dx, ∫ _x

1+x² dx, ∫ x√³

1−5x dx, ∫ x²√

1 +x³dx,

146. Berechne: ∫ ₂

x²−1 dx (_x2²−1 = _x−¹₁−_x+1¹ ),∫ _dx−c

(x−a)(x−b)dx (_(x−^dx−c_a)(x−b) = _b−¹_a(^c−ad_x−a +^db−c_x−b)).

147. Substitution: ∫ ₁

√e^x+1dx, ∫ _(logx)²

x dx, ∫

sinxcos³x dx, ∫

e^sinxcosx dx.

148. Partielle Integration: ∫

xsinx dx, ∫

arctanx dx (erg¨anze ∫

1·arctanx dx).

149. Eulerformel: ∫

sin³x dx,∫

sin²xcos²x dx.

150. Trigonometrische Substitution: ∫ ₁

√a²−x² dx, ∫ _a²

(a²−x²)^3/2 dx (tan^′ = ?, tan = √^sin

1−sin²) Fl¨ache, Volumen, Drehk¨orper, Bogenl¨ange, Schwerpunkt

151. Man berechne die von den beiden Parabeln y² = ^x₄ und y² = 5−x eingeschlossene Fl¨ache.

152. Man berechne die Fl¨ache, die von der Parabel y=√

x, derx-Achse und der Geradeny=x−2 eingeschlossen wird.

153. Man berechne das Volumen des K¨orpers, der durch Rotation des Fl¨achenst¨ucks zwischen den Parabeln y =√

x und y= ⁵₄√

x−9 um diex-Achse entsteht.

154. Die durch die Gleichung x^2/3+y^2/3 = 1 auf dem Intervall [−1,1] definierte Funktion rotiert um die x-Achse. Man berechne das Volumen des Drehk¨orpers.

155. Man berechne die L¨ange des Graphen von y=√

(x+ 1)³ zwischen x= 3 und x= 8.

156. Man berechne die L¨ange des Graphen von y= ^x₈⁴ + _4x¹2 zwischen x= 1 und x= 2.

157. Man berechne die L¨ange des Graphen von f(x) = ^ex+e₂^−x mit x ∈[0,1].

158. Sei a > r. Man berechne die Oberfl¨ache des Ringes (Torus), der durch die Rotation des Kreises x²+ (y−a)² =r² um die x-Achse entsteht.

159. Der Graph von x^2/3 +y^2/3 = 1 mit 0 ≤ x ≤ 1 rotiert um die x-Achse. Man berechne die Oberfl¨ache des dadurch entstehenden Drehk¨orpers.

160. Man berechne den Schwerpunkt eines Halbkreises mit Radius r.

161. Man berechne den Schwerpunkt einer Halbkugel mit Radius r.

162. Der Graph von x^2/3+y^2/3 = 1 mit 0 ≤ x ≤ 1 rotiert um die x-Achse. Man berechne den Schwerpunkt des dadurch entstehenden Drehk¨orpers.

Uneigentliches Integral 163. Partielle Integration: ∫1

0 −logxdx. Hinweis: Beispiel 123 164. Substitution: ∫ ^π₂

0 cotxdx, ∫_∞

0 e⁻√^√x

x dx 165. Substitution: ∫_∞

2 1

xlogxdx und∫_∞

2 1 x(logx)²dx Das Wallissche Produkt

166. F¨ur n ≥ 2 zeige man, dass ∫ ^π

2

0 sinⁿxdx = (n−1)∫ ^π

2

0 sinⁿ⁻²xdx−(n−1)∫ ^π

2

0 sinⁿxdx gilt.

Hinweis: ∫ ^π

2

0 sinⁿxdx=∫ ^π

2

0 sinⁿ⁻¹xsinxdx und partielle Integration.

167. Man zeige∫ ^π₂

0 sin^2kxdx = ^2k_2k^−12k_2k−2⁻³. . .³₄¹₂^π₂ und∫ ^π₂

0 sin^2k+1xdx= _2k+1^{2k 2k}_2k−1⁻². . .⁴₅²₃ mit Hilfe der Formel ∫ ^π₂

0 sinⁿxdx = ⁿ⁻¹_n ∫ ^π₂

0 sinⁿ⁻²xdx aus Beispiel 166

168. Man zeige ^π₂ ≤ ₃²₅²²²_...(2k^42...(2k)₋₁₎²²_2k ≤ ^π₂^2k+1_2k f¨ur k ≥ 2 und folgere limk→∞ 2²4²...(2k)²

3²5²...(2k−1)²2k = ^π₂. Hinweis: F¨ur 0 ≤x≤ ^π₂ gilt sin^2kx≤sin^2k−1xund sin^2k+1x≤sin^2kxund dann Beispiel 167.

169. Man zeige ₂¹_2k(_2k

k

)= 1·3·5···(2k−1)

2·4···(2k) und folgere lim_k→∞

√k 2^2k

(_2k

k

)= √¹

π mit Hilfe von Beispiel 168.

Taylorformel

170. Man entwickle cosx nach der Taylorformel.

171. Sei α ∈R. Man entwickle (1 +x)^α nach der Taylorformel.

172. Man entwickle arcsinx mit Hilfe von Beispiel 171. Hinweis: arcsin^′x= (1−x²)⁻¹²

Reihen

173. Konvergent oder divergent: ∑_∞

k=1 k+1

k² , ∑_∞

k=1 k+1

k³ . 174. Konvergent oder divergent: ∑_∞

k=0(−1)^k, ∑_∞

k=1 logk

k² (Beispiel 123 mit x= ¹_k).

175. Konvergent oder divergent: ∑_∞

k=2 1

klogk, ∑_∞

k=2 1 k(logk)².

176. Alternierende Reihe: Sei (a_k)_k≥0 eine monoton fallende Folge, die gegen 0 konvergiert. F¨ur n ≥ 0 sei S_n = ∑n

k=0(−1)^ka_k. Man zeige S₁ ≤ S₃ ≤ S₅ ≤ · · · ≤ S₄ ≤ S₂ ≤ S₀ und

|Sn−Sn−1|=an und folgere daraus, dass limn→∞Sn existiert.

177. Ist die Reihe ∑_∞

k=0(−1)^k_k+3^k konvergent? Ist∑_∞

k=0(−1)^{k k+1}_k2+1 konvergent?

178. Bestimme den Konvergenzradius: ∑_∞

k=0 1

k+1x^k, ∑_∞

k=0 2^k (k+2)²x^k. 179. Bestimme den Konvergenzradius: ∑_∞

k=0 2^k

k!x^k, ∑_∞

k=0 k⁷ 2^kx^k. 180. Bestimme den Konvergenzradius: ∑_∞

k=0(k⁴−4k³)x^k, ∑_∞

k=0

(_2k

k

)x^k.

Die Stirlingsche Formel 181. Seia_n= _n^n!e_n√ⁿ

n undb_n = loga_nf¨urn≥1. Man zeigeb_n−b_n+1 = _2x¹ log ^1+x_1−x−1 mitx= _2n+1¹ . 182. Zeige 2x ≤log^1+x_1−x ≤2x+ _3(1−x^2x32) f¨ur 0 ≤x < 1[] entweder durch Entwickeln von log^1+x_1−x in eine Reihe oder durch Untersuchen des Monotonieverhaltens der Funktionenf(x) = log^1+x_1−x− 2x und g(x) = 2x+ _3(1−x^2x32) −log^1+x_1−x.

183. F¨ur n ≥ 1 sei c_n = b_n− _12n¹ . Man folgere 0 ≤ b_n−b_n+1 ≤ _12n¹ − _12(n+1)¹ aus Beispiel 181 und 182. Die Folge (bn)n≥1 ist monoton fallend und die Folge (cn)n≥1 ist monoton wachsend.

Es existiert ein bmit limn→∞bn = limn→∞cn =bund es gilt b≤bn ≤b+ _12n¹ f¨ur allen.

184. Man zeige ^a_a²ⁿ2 n =

√n 2²ⁿ√

2

(_2n

n

)f¨urn≥1. Wegen Beispiel 183 gilt lim_n→∞a_n =amita=e^b. Mit Hilfe von Beispiel 169 zeige man a = √

2π. Es folgt b = log√

2π. Damit ist die Stirlingsche Formel limn→∞ n!eⁿ

nⁿ√ n =√

2π gezeigt.