H. Stichtenoth 20.12.2005
Mathematik f¨ ur Wirtschaftswissenschaftler, 10. ¨ Ubung
Diese Aufgaben k¨onnen am 9.1.2006 vor der Vorlesung abgegeben werden; sie werden in den Ubungsgruppen in der Woche vom 9.1.2006 bis 13.1.2006 besprochen. ¨
Aufgabe 39: Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte (sofern sie existieren):
x→0
lim
x
3− 2
5x
2− 3x + 2 , lim
x→−∞
x
45x
3− 4 , lim
x→3
x
2− 9
x − 3 , lim
x→3
1 x − 3 .
Aufgabe 40: Bestimmen Sie die Definitionsbereiche der folgenden Funktionen f
1( x ) := x
2· e
x2+x−12, f
2( x ) := √
x
2+ x − 12 , f
3( x ) := 2 ( x
2+ x − 12)
3, f
4( x ) := x · ln ( x
2+ x − 12) , f
5( x ) := x
2− 9
x
2+ x − 12 und begr¨unden Sie, warum sie da stetig sind.
Bestimmen Sie die Nullstellen dieser Funktionen.
Aufgabe 41: An welchen Stellen sind die folgenden reellen Funktionen stetig, an welchen Stellen sind sie nicht stetig? Bestimmen Sie an den Unstetigkeitsstellen den rechts- und linksseitigen Grenzwert (sofern er existiert).
a) f
1(x) :=
12
x + 1 f¨ur x < 2 ,
− x + 5 f¨ur x ≥ 2; b) f
2(x) :=
(
x2−9x−3
f¨ur x 6 = 3, 1 f¨ur x = 3;
c) f
3(x) :=
e
−x−31f¨ur x 6 = 3,
0 f¨ur x = 3; d) f
4(x) :=
(
e
−(x−3)21f¨ur x 6 = 3 , 0 f¨ur x = 3;
Aufgabe 42: Zeigen Sie, dass das Polynom p(x) = x
5− 2x
4− 2x
2+ 2 mindestens 3 verschiedene Nullstellen hat.
Hinweis: Berechnen Sie p( − 1), p(0), p(1), p(10).
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