Aufgabe 1.2 – Matrixdarstellung der Lorentzgruppe Zeigen Sie, dass (Lµν)αβ =λ(ηναδµβ−ηµαδνβ) die Lorentzalgebra erf¨ullt

Quantenfeldtheorie I WS 14/15 Prof. Jan Plefka Besprechung am 24.10. in ZGW 6 2’21 bzw. 2’07

Aufgabe 1.1 – Klassische Elektrodynamik Die Klassische Elektrodynamik folgt aus der Wirkung

S = Z

d⁴x

−1

4FµνF^µν

mit Fµν =∂µAν −∂νAµ

1. Bestimmen Sie die zugeh¨origen Euler-Lagrange Gleichungen und zeigen Sie, dass diese die Maxwellgleichungen bilden. Benutzen Sie hierzu

Eⁱ =−F⁰ⁱ und ^ijkB^k =−F^ij

2. Bestimmen Sie den Energie-ImpulstensorT_µν der Theorie. Dieser ist zun¨achst nicht symmetrisch, l¨aßt sich aber durch Addition vonG^µν =∂_λ(F^µλA^ν) symmetrisieren (ist zu ¨uberpr¨ufen). Zeigen Sie, dass die Addition dieses Terms die Divergenzfreiheit des Energieimpulstensors erh¨alt, also

0 =∂_µT^µν =∂_µ(T^µν+G^µν) gilt.

Aufgabe 1.2 – Matrixdarstellung der Lorentzgruppe Zeigen Sie, dass

(Lµν)αβ

=λ(ηναδ_µ^β−ηµαδ_ν^β)

die Lorentzalgebra erf¨ullt. Fixieren Sie ferner den Parameter λ so, dass wir [L_µν, L_ρκ] =i η_νρL_µκ+i η_µκL_νρ−i η_νκL_µρ−i η_µρL_νκ in den Konventionen der Vorlesung erhalten.

Aufgabe 1.3 – Kasimiroperatoren der Poincar´ealgebra

Zeigen Sie, dass die quadratischen OperatorenP² :=P^µPµundW² :=W^µWµmit allen Generatoren der Poincar´ealgebra (P_µ, L_µν) vertauschen. Hierbei ist

W^µ= 1

2^µνρκL_νρP_κ und wird als der Pauli-Lubanski Vektor bezeichnet.

Hinweis: Benutzen Sie, dass sich W_µ wie ein Vierervektor transformiert, d.h.

[W_µ, L_ρκ] =i(η_ρµW_κ−η_κµW_ρ) Begr¨unden Sie diese Aussage!

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