Zeigen Sie, dass

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WS 2020/21 M. Röckner

Übungen zur Maÿ- und Integrationstheorie

Blatt 9 Abgabe: Freitag, 22.01.2021 Digitale Abgabe im Lernraum des Tutoriums Aufgabe 1.

Zeigen Sie, dass

B( R

²

) = B( R ) ⊗ B( R ),

wobei B( R

²

) die Borel σ -Algebra auf R

²

und B( R ) die Borel σ -Algebra auf R ist. (2 Punkte) Aufgabe 2.

Beweisen Sie Theorem 11.7 für n > 2 : Seien (Ω

_i

, A

_i

, µ

_i

) , i = 1, ..., n . Maÿräume, so dass für jedes i das Maÿ µ

i

ein σ -endliches ist. Dann existiert für Ω = Ω

1

×...× Ω

n

genau ein Maÿ µ auf (Ω, N

n

i=1

A

_i

) , so dass für alle A

_i

∈ A

_i

, i = 1, ..., n , gilt:

µ(A

1

× ... × A

n

) = µ

1

(A

1

) · · · µ

n

(A

n

).

(2 Punkte) Hinweis: Im Skript wurde Theorem 11.7 für n = 2 bewiesen. Folgern Sie den allgemeinen Fall mittels Induktion.

Aufgabe 3.

Sei (a

n,m

)

_n,m>1

eine Doppelfolge in R mit a

n,m

> 0 für alle n, m ∈ N. Beweisen Sie, dass X

n∈N

X

m∈N

a

n,m

= X

m∈N

X

n∈N

a

n,m

gilt. (2 Punkte)

Aufgabe 4 (Bemerkung 11.16 (ii)).

Beweisen Sie die Aussage in Bemerkung 11.16 (Theorem von Fubini für n > 2 ): Sei n ∈ N und seien (Ω

_i

, A

_i

, µ

_i

) , i = 1, ..., n Maÿräume, so dass für jedes i das Maÿ µ

_i

ein σ -endliches ist. Sei f : Ω

₁

× ... × Ω

_n

→ R ¯ eine nichtnegative A

₁

⊗ ... ⊗ A

_n

-messbare Abbildung. Zeigen Sie, dass dann

Z

Ω1×...×Ωn

f(ω) (µ

1

⊗ ... ⊗ µ

n

)(dω) = Z

Ω_π(1)

· · · Z

Ω_π(n)

f (ω

1

, ..., ω

n

) µ

_π(n)

(dω

_π(n)

)...µ

_π(1)

(dω

_π(1)

)

für jede bijektive Abbildung π : {1, ..., n} → {1, ..., n} wohldeniert und gültig ist. (2 Punkte)

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