UBUNGEN ZUR VARIATIONSRECHNUNG IM SS 2011¨ BLATT 5 (BESPRECHUNG AM 7. APRIL)
SABINE HITTMEIR
Aufgabe 1. Gegeben sind zwei positive reelle Zahlen β und ω. F¨ur Funktionen u∈C01[0,1] ist folgendes Variationsfunktional definiert:
F[u] :=
Z 1
0
e2βx u0(x)2−ω2u(x)2 dx.
Offenbar ist u ≡ 0 ein station¨arer Punkt von F. Stellen Sie die zu- geh¨orige Jacobi-Gleichung auf und geben Sie deren allgemeine L¨osung an. Wann ist die (strikte) Jacobi-Bedingung erf¨ullt?
Aufgabe 2. F¨ur Funktionenu∈C01[0,1] ist folgendes Variationsfunk- tional definiert:
F[u] :=
Z 1
0
a u0(x)2+ 2b u0(x)u(x) +c u(x)2 dx.
Unter welchen Bedingungen an die gegebenen reellen Konstanten a ≥ 0, b∈R und c∈R . . .
(i) . . . erf¨ullt F die (strikte) Legendre-Hadamard-Bedingung?
(ii) . . . erf¨ullt F die (strikte) Jacobi-Bedingung?
Aufgabe 3. Wir betrachten das Funktional der minimalen Rotations- oberfl¨ache
F(u) = Z x2
0
u(x)p
1 +u0(x)2dx
aufU ={u∈C1[0, x2] :u(0) =u1, u(x2) =u2}. Wir haben in Aufgabe 4(ii) von Blatt 2 gesehen, dass die Extremalstellen gegeben sind durch
u(x) = 1
αcosh(αx+β) wobei α >0 und β ∈R.
(i) Zeigen Sie, dass ϕ(x) = c1
α sinh(αx+β) + c2 α
xsinh(αx+β)− 1
αcosh(αx+β)
die L¨osung der Jacobi-Gleichung ist.
sabine.hittmeir@tuwien.ac.at.
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2 SABINE HITTMEIR
(ii) Seien nun die Randbedingungen gegeben durch u(0) =u(1) = 1.
Zeigen Sie, dass zwei L¨osungen existieren, jedoch nur eine die (strikte) Jacobi-Bedingung erf¨ullt.
Hinweis: Die Gleichung α = coshα2 hat die zwei L¨osungen α1 ∼ 1.2, α2 ∼ 4.2. Nehmen Sie schließlich an, dass x0 ein zux= 0 konjugierter Punkt ist und ¨uberlegen Sie sich anhand einer graphischen Darstellung (z.B. mithilfe Mathematica), wo in etwa dieser Punkt x0 f¨ur die jeweiligen Werte von α1 bzw.
α2 liegt.
Aufgabe 4. Es sei das Funktional F(u) =
Z π/4
0
(u(x)2−u0(x)2−2u(x) cosh(x))dx definiert auf U ={u∈C1[0, π/4] :u(0) =u1, u(π/4) = u2}
(i) Finden Sie die station¨aren Punkte vonF.
(ii) Zeigen Sie, dass die station¨aren Punkte schwache Maximalstel- len sind.
