Lineare Unabh¨ angigkeit, Basen und Unterr¨ aume

Lineare Algebra f¨ur Lehramt

Sommersemester 2018

Dipl. Wirtsch.-Math. Marcel Marohn E-Mail: m.marohn@mail.de

Lineare Unabh¨ angigkeit, Basen und Unterr¨ aume

Ubersicht¨

Wir betrachten hier nur den euklidischen Vektorraum Rⁿ ={x = (x₁, . . . , x_n)|x_i ∈ R, i= 1, . . . , n}. Grafisch stellen wir die Elemente imR² oder R³ meist als Pfeile (Vektoren) dar, auch wenn es sich nat¨urlich auch um Punktkoordinaten handelt. Auf Rⁿ sind Addition x+y und die Skalarmultiplikationλ·xmitλ∈Rkomponentenweise erkl¨art.¹ Geometrisch bewirkt eine Skalarmultiplikation eine Streckung (|λ| > 1) oder Stauchung (0 < |λ| < 1) des Vektors sowie im Falle λ < 0 eine Spiegelung des (Pfeil-)Vektors in Null, so dass er in die entgegengesetzte Richtung zeigt. Die Additionx+ybedeutet grafisch, dass man an den Pfeilx den Vektorpfeily anheftet und dann die 0 (den Ursprung) mit dem Pfeilende des an x angehefteten Pfeilsy verbindet.²

Lineare Unabh¨angigkeit

Wir nennen v1, . . . , vn ∈ Rⁿ linear unab¨angig, wenn sich der Nullvektor 0 nur trivial aus v₁, . . . , v_n erzeugen l¨asst, das heißt also:

λ1v1+· · ·+λnvn

| {z }

(?)

= 0 mitλ1, . . . , λn∈R

hat keine andere L¨osung alsλ₁=· · ·=λ_n= 0.

Beachte:

• Zwei Vektoren x, y ∈ Rⁿ sind linear abh¨angig ⇔ x, y sind Vielfaches voneinander:

x=λy mit einemλ∈R.

• Sind bereits zwei Vektoren ausv₁, . . . , v_nlinear abh¨angig, so ist das Systemv₁, . . . , v_n linear abh¨angig. (Pr¨ufe also zuerst durch scharfes Hinsehen, ob zwei Vektoren Vielfa- che voneinander sind!)

• Sind im System v1, . . . , vn alle Vektoren paarweise linear unabh¨angig (also keiner Vielfaches von einem anderen), so heißt das nicht notwendig, dass v1, . . . , vn linear unabh¨angig sind! (Es heißt nur, dass man noch nicht auf linear abh¨angig schließen kann.)

Beispiel: Es seien drei Vektoren v₁, v₂, v₃ ∈R³ gegeben, wobei je zwei linear unabh¨angig sind. Ist dann auch notwendig{v₁, v₂, v₃} linear unabh¨angig?

Antwort: Nein. Betrachte dazu die drei Vektoren in der x −y−Ebene R² ⊆ R³. Dort spannen je zwei linear unabh¨angige die Ebene auf, drei sind aber immer abh¨angig.³ Als Beispiel nehme manv₁ =



 1 0 0



, v₂=



 0 1 0



, v₃ =



 1 1 0



.

1Eine Multiplikation von zwei Vektoren gibt es in dieser Artnicht, aber wir f¨uhren einen gewissermaßen Ersatz ein (Skalarprodukt).

2Dabei ist die Rolle vonxundynat¨urlich auch vertauschbar.

3siehe Bemerkungen zu Basen.

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Dipl. Wirtsch.-Math. Marcel Marohn E-Mail: m.marohn@mail.de Wir nennen den Ausdruck (?) Linearkombination der Vektorenv1, . . . , vn. Dahinter steckt,

da v₁, . . . , v_n ∈ Rⁿ sind, ein lineares Gleichungssystem f¨ur λ₁, . . . , λ_n aus n Zeilen. Die Menge aller Vektoren, die von einer Menge von VektorenB :={v₁, . . . , vn} erzeugt werden kann (also die Menge der Vektoren, die sich als Linearkombination (?) aus diesen Vektoren schreiben lassen) bezeichnet man als Lineare H¨ulle oder Span dieser Vektoren:⁴

span (B) = span{v₁, . . . , vn}:=

(

w∈Rⁿ

w=

n

X

i=1

λivi mit beliebigen λi ∈R, i= 1, . . . , n )

.

Unterr¨aume und Basen

Eine TeilmengeU ⊆Rⁿ heißt Unterraum von Rⁿ, falls U 6=∅sowie (U1) x+y∈U f¨ur alle x, y∈U,

(U2) λx∈U f¨ur alle x∈U, λ∈R (insbes.λ= 0 m¨oglich)

gelten. Wir nennen eine Menge B := {v₁, . . . , vn} Erzeugendensystem von U, falls U = spanB gilt. Sind v1, . . . , vn zus¨atzlich noch linear unabh¨angig, so heißt B Basis von U.⁵ Die Anzahl der Elemente einer Basis von U heißt Dimension von U und wir schreiben dimU =n, fallsndiese Anzahl ist.

Beachte zu Unterr¨aumen:

1. F¨ur jeden Unterraum gilt: 0∈U (immer zuerst pr¨ufen!).

2. U ={0} ist ein trivialer Unterraum.

3. Alle Unterr¨aume im R² sind Geraden durch den Ursprung oder{0}.

4. Alle Unterr¨aume im R³ sind Ebenen/Geraden durch den Ursprung oder{0}.

So k¨onnen beispielsweise U1 = {(x, y) ∈ R²|y = x²} und U2 = {(x, y) ∈ R²|y = 3x+ 4}

keine Unterr¨aume vonR²sein, jedochU₃ ={(x, y)∈R²|y = 3x}ist ein Unterraum von R².

Beachte zu Basen:

1. IstB:= {v₁, . . . , v_n} eine Basis von U, so hat f¨ur jedes u∈U das Gleichungssystem u=λ1v1+. . . λnvngenau eine L¨osung.

2. Alle Basen von U haben gleiche L¨ange, bestehen also aus gleich vielen Vektoren.

(Damit ist dimU insbesondere eindeutig.)

3. Jede Basis vonU ist unverk¨urzbar (minimal), d.h. entfernt man einen Vektor, so hat man kein Erzeugendensystem vonU mehr.

4. Jede Basis von U ist maximal linear unabh¨angig, d.h. hat die Basis n Elemente und damit dimU =n, so sind in U mehr als nVektorenimmer linear abh¨angig.

4Dabei setzt man span (∅) ={0}.

5Insbesondere gelten die Begriffe also auch allgemein f¨urU =Rⁿ.

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Dipl. Wirtsch.-Math. Marcel Marohn E-Mail: m.marohn@mail.de 5. Steinitz’scher Austauschsatz: IstB:={v₁, . . . , vn}eine Basis von U, dann kann man

einen Vektorv_j aus der Basis mit einem ausv₁, . . . , v_n erzeugten Vektor w=

n

X

i=1

λ_iv_i, λ_i ∈R, i= 1, . . . , n

austauschen (und erh¨alt wieder eine Basis), wenn λj 6= 0 ist (alsovj wirklich bei der Linearkombination benutzt worden ist). Insbesondere gilt: man kannjedenVektor aus der Basis gegen

w=

n

X

i=1

v_i

austauschen (da λi = 1 f¨ur jedesiist).

Die Standardbasis desRⁿbesteht aus den Vektoren, die in genau einer Komponente eine 1 haben und sonst nur Nullen. Die Standardbasis inR³ ist somit

e₁=



 1 0 0



, e₂ =



 0 1 0



, e₃ =



 0 0 1





und daher dimR³ = 3. Folglich sind mehr als drei Vektoren immer linear abh¨angig im R³(nicht inR⁴,R⁵, . . .!) und insbesondere niemals eine Basis desR³. Allgemein gilt der Zu- sammenhang also f¨ur jedenRⁿ: dimRⁿ=nundn+ 1 Vektoren sind immer linear abh¨angig inRⁿ⁺¹.

Dimensionsformel und affine Untervektorr¨aume

F¨ur beliebige Unterr¨aumeU1, U2 desRⁿ gilt:

dim(U1+U2) = dimU1+ dimU2−dim(U1∩U2).

Dabei istU1+U2:={u∈Rⁿ|u=u1+u2 mitu1∈U1, u2∈U2}.

Einaffiner Untervektorraum des Rⁿ ist

x₀+U :={x₀+x|x∈U}

mit U Untervektorraum von Rⁿ und x₀ ∈ Rⁿ (St¨utzvektor oder Verschiebungsvektor).

Die eindimensionalen affinen Unterr¨aume des Rⁿ sind beliebige Geraden und die zweidi- mensionalen beliebige Ebenen. Beachte: Ein Untervektorraum ist immer auch ein affiner Untervektorraum (w¨ahle x₀ = 0). Umgekehrt ist aber nicht jeder affine Untervektorraum ein Untervektorraum (warum?).

Skalarprodukt und Komplement¨are Unterr¨aume

Seien x, y∈Rⁿ. Dann definieren wir das Skalarprodukt als hx, yi:=

n

X

i=1

xi·yi.

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Dipl. Wirtsch.-Math. Marcel Marohn E-Mail: m.marohn@mail.de Insbesondere stehen x, y senkrecht aufeinander (x ⊥ y), wenn hx, yi = 0 ist. Sei A ⊆Rⁿ.

Dann nennen wir den Unterraum der zu allen Vektoren ausAsenkrecht stehenden Vektoren A^⊥ das orthogonales Komplement zu A:

A^⊥:={x∈Rⁿ|hx, ai= 0 ∀a∈A} ⊆Rⁿ. Dieser ist Unterraum des Rⁿ. Es gilt f¨urU Unterraum desRⁿ

dimU^⊥=n−dimU,

also muss man, um U^⊥ zu beschreiben, nur dimU^⊥ linear unabh¨angige Vektoren finden, die zu einer beliebigen Basis von U senkrecht stehen (man muss also nicht wirklich alle Vektoren ausUbetrachten). Die gefundenen Vektoren bilden dann eine Basis vonU^⊥bilden.

Dieser Zusammenhang ergibt sich aus der Eigenschaft derorthogonalen Projektion x^U ∈U eines Vektors x ∈ Rⁿ auf einen Unterraum U von Rⁿ: es existiert immer eine eindeutige Zerlegung

x=x^U+x^⊥ mit einemx^⊥∈U^⊥. Insbesondere erhalten wir:

span (U∪U^⊥) =Rⁿ und

U^⊥ ⊥

=U.

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