λ b λ≤x <1 und sei wk: [0,1]→R so dass wk(x) =h(kx) Beweisen Sie, dass wk

UBUNGEN ZUR VARIATIONSRECHNUNG IM SS 2011¨ BLATT 11 (BESPRECHUNG AM 16. JUNI)

SABINE HITTMEIR

Aufgabe 1. Sei h :R→R die periodische Fortsetzung der Funktion h(x) :=

a 0≤x < λ b λ≤x <1 und sei w_k: [0,1]→R so dass

w_k(x) =h(kx) Beweisen Sie, dass

w_k *^∗ Z 1

0

h(y)dy=λa+ (1−λ)b inL^∞(0,1) Zeigen Sie weiters, dass f¨ur jedes f ∈C( ¯K) gilt

f(w_k)*^∗ λf(a) + (1−λ)f(b) inL^∞(0,1)

Formulieren Sie dieses Resultat in der Terminologie von Young-Maßen.

Aufgabe 2. Seiu_n(x) = sin(nπx) definiert auf dem IntervallI = [0,2]

und r(y) = _π² arcsin⁰(y), y ∈[0,1]. Zeigen Sie, dass f¨ur alle f ∈ C( ¯K) gilt

f(u_n)*^∗ Z 1

0

f(y)r(y)dy inL^∞(I)

Formulieren Sie das Resultat in der Terminologie von Young-Maßen.

Aufgabe 3. Sei E :Rⁿ →Rein quadratisches Polynom E(x) =

n

X

i,j=1

a_ijx_ix_j +

n

X

i=1

b_ix_i+c

in x = (x₁, . . . , x_n) ∈ Rⁿ, das nicht degeneriert ist, d.h. D²E(x) = (aij)1≤i,j≤n bestimmt eine invertierbare lineare Abbildung Rⁿ → Rⁿ. Beweisen Sie, dass E die Palais-Smale Bedingung erf¨ullt.

sabine.hittmeir@tuwien.ac.at.

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