f(x 0 ) wenn x 1 <x 0 <x 2

5. Ubung zur Vorlesung Theoretishe Physik A

Universitat Karlsruhe WS 2004/05

Prof.Dr. Gerd Shon| Dr. MatthiasEshrig

www-tfp.physik.uni-karlsruhe.de/Lehre/

Vorrehnen:Freitag,26.11.2004

Aufgabe 19 (4Punkte)

DieÆ-Funktion:

DieDirasheÆ-FunktionistdurhdieEigenshaft

Z

x

2

x1

dxf(x)Æ(x x

0 )=

f(x

0

) wenn x

1

<x

0

<x

2

;

0 wenn x

0

<x

1

oder x

2

<x

0 :

(1)

deniert.Intuitivgilt,dassÆ(0)=1undÆ(x6=0)=0.

ImFolgendenseix

1

<0<x

2

.Formalmathematishhandeltessihnihtum

eineFunktionsondernumeineDistribution.

a) Wasist R

1

1

dxsinxÆ(x) und R

1

1

dx osxÆ(x) ?

(1Punkt)

b) ZeigenSie (durh Substitution y=ax undBeahtungderIntegrations-

grenzen!),dassÆ(ax)= 1

jaj

Æ(x),indemSiezeigendass

Z

x2

x

1

dxf(x)Æ(ax)= 1

jaj

f(0): (2)

(1Punkt)

) Ableitung der Æ-Funktion: Zeigen Sie dass die Denition der Ableitung

derÆ-Funktiondurh

Z

x

2

x

1

dxf(x)Æ 0

(x)= f 0

(0): (3)

formaldurh partielleIntegration ausderDenition der Æ-Funktion er-

halten werden kann. Was ware demnah eine sinnvolle Denition der

zweitenAbleitung derÆ-Funktion?(2Punkte)

Aufgabe 20 (6Punkte)

DarstellungenderÆ-Funktion:

a) Lorentzfunktion-Darstellung: Zeigen Sie, dass folgenderLimes der Lor-

entzfunktionf

L (x),

Æ

L

(x)= lim

!0 f

L

(x); wobei f

L (x)=

(x 2

+ 2

)

; (4)

eineDarstellungderÆ-Funktionist,indemsiedieLorentzfunktionzeih-

nen(BreiteundHoheandeuten!),undzeigendassÆ

L

(0)=1, Æ

L (x6=

0)=0, und R

x

2

x

1 dxÆ

L

(x)=1wennx

1

<0<x

2

.(2Punkte)

b) Gaussfunktion-Darstellung:GehenSieanalogvor,umzuzeigendass

Æ

G

(x)= lim

!0 f

G

(x); wobei f

G (x)=

1

p

e

x 2

2

; (5)

) Integral-Darstellung:Zeigen Sie,dass 1

1 dk

2 e

ik x

=Æ(x),indemSiezei-

gen,dassderAusdruk

lim

!0 Z

1

1 dk

2 e

ik x jk j

(6)

dieLorentzfunktion-Darstellungvon(2a)liefert.

(Hinweis:TeilenSiedasIntegralin R

0

1 dk+

R

1

0

dk auf.)(2Punkte)

Aufgabe 21 (5Punkte)

Mittelwellenradio:

Ein Mittelwellenradiosender sendet ein Signal mit einer Tragerfrequenz

aus.DieeingestrahltenRadiowelleninduzierendeneineoszillierendeSpannung

V

0 os(!

t)inderAntenne,wobei!

=2

.DieAntennewirktalsWehsel-

spannungsquellefur einen LCR-Stromkreis,und dasvom Empfanger produ-

zierteSignalistdieSpannungV

C (t),die



uberdemKondensatorCabfallt.List

dieInduktanz,CdieKapazitatundRderWiderstanddesLCR-Stromkreises.

NehmenSiean,dassR!

LundR p

L=C.

a) DieDierentialgleihungfurdenLCR-Stromkreis,

L



Q(t)+R _

Q(t)+Q(t)=C=V

0 os(!

t); (7)

kannin dieFormderGleihungfureinengetriebenenharmonishenOs-

zillator,



x (t)+2x(t)_ +! 2

0

x(t)=fos(!

t) (8)

gebrahtwerden.Wassindx,,!

0

undf alsFunktionenvonR ,C,L,

V

0

undderLadungQaufdemKondensator?(1 Punkt)

b) FindenSiedieallgemeineLosungderDierentialgleihung(7).(1Punkt)

) Berehnen Sie, auf welhen Wert die Induktanz L eingestellt werden

muss,damit derStromkreisin Resonanzmit dem eingestrahltenSignal

ist.(Dieses istdieGroe,diebeieinemRadiogeandert wird,wennman

dieStation einstellt.) Hinweis: Nehmen Sie an, dassderWiderstand R

sokleinist,dasserdieResonanzfrequenznihtwesentlihbeeinusst.

(1Punkt)

d) BerehnensiedieAmplitude V

C;max

derKondensatorspannungV

C (t)=

Q(t)=CalsFunktionvonV

0

,und!

imResonanzfallfurt1=.[Das

Verhaltnis V

C;max

=V

0

wird die Verstarkung des Stromkreises genannt.℄

(1Punkt)

e) Eine andereStation sendetmit einer anderenTragerfrequenz 0

. Wenn

der Empfanger nah wie vor auf die erste Sendefrequenz

eingestellt

ist,giltdieResonanzbedingungvon)nihtfurdiezweiteStation; folg-

lihwerdenderenSignalevielshwaherverstarktalsdiederersten,mit

AmplitudeV 0

C;max

.BerehnenSiedasVerhaltnisderVerstarkungsampli-

tuden,V 0

C;max

=V

C;max

,alsFunktionvon! 0

=!

und=!

.SkizzierenSie

V 0

=V

C;max

alsFunktionvon! 0

=!

.(1Punkt)