λ 0 ln r λ 0 + λ ln r λ

Heiko Dumlich, Max Homan

14. Mai 2006

10 Spiegelladung II

Das Potential

φ

λ

λ ⁰

zylindrischen Koordinatensystem lautet:

φ (r) = − 1 2πε ₀

λ ⁰ ln r _λ ⁰ + λ ln r _λ

wobei

r _λ = √

r ² + h ² − 2rh cos ϑ

r _λ ⁰ = √

r ² + h ^{0 2} − 2rh ⁰ cos ϑ.

r = a

vomWinkelsein.

∂ _ϑ φ | r=a = 1 2πε 0

2rh ⁰ λ ⁰ sin ϑ

r ² + h ^{0 2} − 2rh ⁰ cos ϑ + 2rhλ sin ϑ r ² + h ^{0 2} − 2rh cos ϑ

!

= 0

⇔ h ⁰ λ ⁰ r ² + h − 2rh cos ϑ = − hλ r ² + h ⁰² − 2rh ⁰ cos ϑ

Der jeweils letzte Term unterscheidet sich nur durch

λ ⁰

λ

konstant sindunddie Identitätfür jedes

ϑ

− λ = λ ⁰

⇒ h ⁰ r ² + h ² = h r ² + h ^{0 2}

⇔ r ² + h ⁰²

h ⁰ = r ² + h ² h

⇔ r ²

h ⁰ + h ⁰ = r ² h + h

⇔ r ² 1

h ⁰ − 1 h

= h − h ⁰

⇔ r ² h − h ⁰ = h − h ⁰ hh ⁰

⇒ h ⁰ = r ² h

Somit folgt für dasPotential :

φ (r) = λ

2πε ₀ ln a ² r _λ ²

!

11.1

u

Die gegebene Dierentialgleichung

1 − x ² P _l ⁰⁰ − 2xP _l ⁰ + l (l + 1) P _l = 0

ist

m

m

Ableitungjedes auftretendenfunktionalen Zusammenhangs zu bilden.

u ≡ d ^m

dx ^m P _l = P _l ^(m)

d ^m

dx ^m (xP _l ) = d ^{m − 1}

dx ^m−1 1xP _l ⁰ + P _l = d ^{m − 2}

dx ^m−2 2xP _l ⁰⁰ + P _l ⁰ = d ^{m − 3}

dx ^m−3 3xP _l ⁰⁰⁰ + P _l ⁰⁰ = . . .

= mxP _l ^(m) + P _l ^{(m − 1)}

Der

xP _l

d ^m dx ^m

x ² P _l = d ^{m − 1} dx ^m−1

2xP _l + x ² P _l ⁰ = d ^{m − 2} dx ^m−2

2P _l + 4xP _l ⁰ + x ² P _l ⁰⁰

d ^{m − 3} dx ^m−3

6P _l + 6xP _l ⁰ + x ² P _l ⁰⁰ = d ^{m − 4} dx ^m−4

12P _l + 8xP _l ⁰ + x ² P _l ⁰⁰

Der Koezient beidem 2.Term erhöht sich bei jederAbleitung um2. Der 1.Koe-

zient erhöht sich bei jeder Ableitung um den vorherigen 2. Koezienten. Als rekursive

Denition könnte manfür dieKoezientenfolge daherauchschreiben:

a ₀ = 0; a _n = 2n + a _{n − 1}

a _n = 2n + a _n−1 = 2n + 2 (n − 1) + a _n−2 = 2n + 2 (n − 1) + 2 (n − 2) + a _n−3 = . . .

Durch einpaarUmformungen ndet manauch einen geschlossenAusdruck:

a _n = 2n ² − 2

n

X

i=0

i = 2n ² − 2 1

2 n (n − 1) = 2n ² − n ² − n = n (n − 1) .

⇒ d ^m dx ^m

x ² P _l = m (m − 1) P _l ^{(m − 2)} − 2xP _l ^{(m − 1)} + x ² P _l ^(m) .

Leitet man obige Gleichung wie erläutert

m

vor

0

0 = u ⁰⁰ − m (m − 1) u − 2mxu ⁰ − x ² u ⁰⁰ − 2 mu + xu ⁰

= u ⁰⁰ 1 − x ² − u ⁰ 2x (m + 1) + u l ² + l − m ² − m

= u ⁰⁰ 1 − x ² − u ⁰ 2x (m + 1) + u (l − m) (l + m + 1) √

11.2

v

DiezugeordnetenLegéndreschenPolynomesinddiedeniertals

v = ( − 1) ^m 1 − x ^{2 m/2} u.

UmdieGültigkeitdesAnsatzeszuüberprüfensindzuerst

v ⁰

v ⁰⁰

Gleichung

0 = 1 − x ² v ⁰⁰ − 2xv ⁰ +

l (l + 1) − m 1 − x ²

einzusetzen.

v

( − 1) ^m (1 − x ² ) ^m/2 = u v ⁰

( − 1) ^m (1 − x ² ) ^m/2 = u ⁰ − u · m 2 · x

1 − x ² v ⁰⁰

( − 1) ^m (1 − x ² ) ^m/2 = u ⁰⁰ − u ⁰ · 2mx

1 − x ² + u · 2mx ² (m/2 − 1) (1 − x ² ) ²

Nun gilt esnur noch einzusetzen undauszurechnen.

0 = 1 − x ²

"

u ⁰⁰ − u ⁰ · 2mx

1 − x ² + u · 2mx ² (m/2 − 1) (1 − x ² ) ²

#

− 2x

u ⁰ − u · m 2

x 1 − x ²

+

l (l + 1) − m 1 − x ²

u 0 = 1 − x ² u ⁰⁰ − u ⁰ 2x (m + 1)

+u

"

l (l + 1) − m · mx ² − 2x ² + 1 + x ² + m 1 − x ²

#

0 = 1 − x ² u ⁰⁰ − 2x (m + 1) u ⁰ + ^h l (l + 1) − m ² − m ⁱ u 0 = 1 − x ² u ⁰⁰ − 2x (m + 1) u ⁰ + (l − m) (l + m + 1) u

Man erhält wieder die Zwischengleichung. Dadurch wurde gezeigt, dass der Ansatz der

zugeordneteten Legéndrepolynome die erweiterte Legéndresche Dierentialgleichug

erfüllt.