Aufgabe λ 34
Dr.Roland Mildner, Leipzig Zeitschrift Die Wurzel, Heft 7/04
Ein bojen¨ahnlicher K¨orper m¨oge zusammengesetzt sein aus einem geraden Kreiszylinder (Durchmesserd, H¨oheH, einem oben aufgesetzten geraden Kreiskegel (Grunddurchmesserd, H¨ohe h) und einer unten aufgesetzten Halbkugel (Durchmesserd), siehe Abbildung 1.
Wie sind die Abmessungend, hund Hzu w¨ahlen, damit der K¨orper bei gegebenem Volumen V eine m¨oglichst kleine Oberfl¨ache hat?
hd H
Abbildung 1: Skizze zur Aufgabe
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Aufgabeλ34 Die Wurzel, Heft 7/04
L¨osungsvorschlag von Ingmar Rubin, Berlin
Ohne Herleitung seien die Formeln zur Berechnung der Oberfl¨ache und des Volumens der drei Grundk¨orper Kreiskegel, Zylinder und Halbkugel als gegeben vorausgesetzt. Zu beachten ist, dass vom Kreiskegel nur der ¨außere Kegelmantel betrachtet werden darf. Die Grundfl¨ache des Kegels tritt nicht nach außen in Erscheinung. Gleiches gilt f¨ur die Grundfl¨ache / Deckfl¨ache vom Zylinder und der Grundfl¨ache der Halbkugel. Die Oberfl¨ache des K¨orpers berechnet sich demnach zu:
AO(d, h, H) =π d H+π d2
2 +π d√
d2+ 4h2
4 (1)
Das Volumen betr¨agt:
V = π d2H
4 +π d3
12 + π d2h
12 (2)
Es handelt sich um eine Extremwertaufgabe mit drei Ver¨anderlichen und einer Nebenbedin- gung. Nach Lagrange wird die Nebenbedingung mittels einem lagrangschen Multiplikator in die zu minimierende Oberfl¨achenformel einbezogen. Die Nebenbedingung muß dazu als im- plizite Funktion dargestellt werden:
ϕ(d, H, h) =V − π d2H
4 +π d3
12 + π d2h
12 (3)
Die Lagrange-Funktion L sieht damit wie folgt aus:
L(d, H, h, λ) =AO(d, H, h) +λ·ϕ(d, H, h) (4)
Die Extremstellen werden aus der L¨osung des folgenden Gleichungssystem bestimmt:
∂L
∂d = 0, ∂L
∂H = 0, ∂L
∂h = 0, ϕ(d, H, h) = 0 (5)
Bei der Bildung der partiellen Ableitungen und der Bestimmung der Nullstellen nutzen wir vorteilhaft ein Computeralgebrasystem wieMathematica.
∂L
∂d = 1 12π
12d+ 3d2
√d2+ 4h2 + 3p
d2+ 4h2+ 12H−d(3d+ 2h+ 6H)λ
(6)
∂L
∂H =− 1
4d π(−4 +d λ) (7)
∂L
∂h = d h π
√d2+ 4h2 − 1
12d2π λ (8)
Die Aufl¨osung von (5) ergibt f¨unf Tupel H, h, d, λ, wobei Vier von ihnen im Bereich der komplexen Zahlen liegen, und als L¨osung f¨ur die Aufgabenstellung nicht in Betracht kommen.
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Die Wurzel, Heft 7/04 Aufgabeλ34
Das Minimum der Oberfl¨ache wird f¨ur das folgende L¨osungstripelH, h, d eingenommen:
H =
3
q3 (−2V+√ 5V) π
√5 (9)
h= 2 3
q3 (−2V+√ 5V) π
√5 (10)
d= 2 3 s
3 (−2V +√ 5V)
π (11)
λ= 2 3
r π 3 (−2V +√
5V) (12)
F¨ur eine Boje mit einem Liter Fassungsverm¨ogen erh¨alt man als numerische N¨aherung:
V = 1000.0, AO= 492.93 (13)
H = 2.72177, h= 5.44354, d= 12.1721, λ= 0.32862 (14)
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