Spiegelung
Eine Spiegelung an einer Hyperebene H : d
tx = 0 ,
mit normiertem Normalenvektor d ∈ R
n(|d | = 1) wird durch die symme- trische orthogonale Matrix
Q = E − 2dd
tmit E der Einheitsmatrix beschrieben.
Die Spiegelung l¨ asst Vektoren in H invariant und ¨ andert bei Vektoren parallel zu d das Vorzeichen:
Qx = x, x ⊥ d , Qx = −x, x k d .
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Beweis
(i) Symmetrie von Q X (ii) Orthogonalit¨ at:
= Q
2= (E − 2dd
t)
2= E
2− 4dd
t+ 4d d
td
|{z}
=1
d
t= E
(iii) Spiegelungseigenschaft:
x − Qx k d :
x − Qx = x − x + 2dd
tx = 2(d
tx)d Mittelpunkt zwischen x und Qx ∈ H:
d
t(x + Qx)/2 = (d
tx + d
tx − 2 d
td
|{z}
=1
d
tx)/2 = 0
= ⇒ Qx ist Spiegelbild von x an der Hyperebene durch den Ursprung, die zu d orthogonal ist
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Beispiel
Spiegelung an der Ebene H durch die Punkte (0, 0, 0), (0, 1, 0), (3, 0, 4)
Normale
d = (−4, 0, 3)
t/5, |d | = 1 Spiegelungsmatrix
Q = E − 2dd
t=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
− 2 25
−4 0 3
−4 0 3
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
− 2 25
16 0 −12
0 0 0
−12 0 9
=
−0.28 0 .96
0 1 0
.96 0 0.28
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