1. Es sei P ( R ein Ideal in einem kommutativen Ring. Zeigen Sie, dass die folgenden Eigenschaften ¨ aquivalent sind:

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Ubungsaufgaben Torische Geometrie ¨

1. Es sei P ( R ein Ideal in einem kommutativen Ring. Zeigen Sie, dass die folgenden Eigenschaften ¨ aquivalent sind:

(i) P is Primideal.

(ii) Der Ring R/P ist nullteilerfrei.

(iii) F¨ ur Elemente r ₁ , r ₂ ∈ R mit r ₁ r ₂ ∈ P gilt r ₁ ∈ P oder r ₂ ∈ P . (iv) F¨ ur Ideale I ₁ , I ₂ ⊂ R mit I ₁ · I ₂ ⊆ P gilt I ₁ ⊆ P oder I ₂ ⊆ P .

(v) Die Menge S := R \ P ist multiplikativ abgeschlossen: 1 ∈ S und aus s ₁ , s ₂ ∈ S folgt s ₁ s ₂ ∈ S.

2. Sei X ein Hausdorffscher topologischer Raum und M := Max(C(X)) die Menge aller Maximalideale in dem Ring der stetigen Funktionen C(X). Zeigen Sie, dass M mit der Zariski-Topologie ebenfalls Hausdorffsch ist.

3. F¨ ur f := x ² −y ² , g := x ³ +xy ² −y ³ − x ² y − x +y ∈ C [x, y], finden Sie die irreduziblen Komponenten von V (f) ∩ V (g) ⊆ A ² _C . Zeichnen Sie V (f ) und V (f ) ∩ V (g).

4. Finden Sie alle rationalen L¨ osungen f¨ ur x ² + y ² = 1, also V (x ² + y ² − 1) ⊆ A ² _Q . (Tipp: schneiden Sie die Variet¨ at mit geeigneten Geraden.)

5. Es sei H ⊆ N die von 2 und 3 erzeugte Halbgruppe und C [H] ihr Halbgruppenring.

(a) Finden Sie Gleichungen f¨ ur die algebraische Variet¨ at X mit A(X) ∼ = C [H].

(b) Zeichnen Sie ein reelles Bild f¨ ur X.

(c) Geben Sie eine polynomiale Abbildung ϕ : A ¹ _C → X an.

(d) Zeigen Sie, dass ϕ Bijektion und Hom¨ oomorphismus ist, aber kein Isomorphismus.

6. Sei σ ⊆ R ⁿ eine Teilmenge. Zeigen Sie, dass σ ein polyedrischer Kegel ist (also der Durchschnitt endlicher vieler Halbr¨ aume) genau dann, wenn σ endlich erzeugt ist (also von der Form hv ₁ , . . . , v _r i).

7. Es seien L eine kommutative Halbgruppe und H ⊂ L eine Unterhalbgruppe. Wir betrachten die Menge

H := {l ∈ L | ∃ n∈ N

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nl ∈ H}.

Zeigen Sie, dass H eine Unterhalbgruppe von L ist mit H ⊆ H und zeigen Sie, dass H saturiert in L ist.

Was ist H f¨ ur die Halbgruppe H aus Aufgabe 5?

8. Beschreiben Sie die durch die folgenden Kegel gegebenen affinen torischen Variet¨ aten mittels polynomialer Gleichungen:

(1) σ 1 = h(1, 3), (2, −1)i in Z ²

(2) σ ₂ = he ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₁ + e ₂ + e ₃ i in Z ³

(3) σ ₃ = he ₁ , e ₃ , e ₁ + e ₂ , e ₂ + e ₃ i in Z ³

(2)

9. Es sei X = V (y ² − x ² − x ³ ) ⊂ A ² eine ebene Kurve, und Y ihre Normalisierung.

(a) Beschreiben die Variet¨ at Y und die Abbildung Y → X.

(b) Warum ist X keine affine torische Variet¨ at?

10. Es sei σ = h(1, 0), (1, 2)i ein Kegel in Z ² und X _σ die zugeh¨ orige affine torische Variet¨ at. Beschreiben Sie die Wirkung des Torus T ² = K ^∗ × K ^∗ auf X und auf A(X).

11. Wir betrachten die drei Variet¨ aten A ² , T := (K ^∗ ) ² und Z := V (xy − z ² ) ⊂ A ³ und die Punkte o = (1, 1) ∈ A ² , t := (1, 1) ∈ T , z := (0, 0, 0) ∈ Z mit den Maximalidealen m _o , m _t , m _z . Zeigen Sie A( A ² ) _m

_o

∼ = A(T ) _m

_t

6∼ = A(Z) _m

_z

f¨ ur die Lokalisierungen.

12. Zeigen Sie, dass die affine Variet¨ at V (xy − zw) ⊂ A ⁴ torisch ist: geben Sie Kegel und Gitter an, und beschreiben Sie Torus-Wirkung und -Orbiten.

13. Berechnen Sie Sing(X) und Sing(Y ) f¨ ur X := V (y ² + y − x ⁴ ) ⊂ A ² ,

Y := V (xy ² − z ² ) ⊂ A ³ .

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14. Finden Sie eine Toruswirkung von T ² auf Y und beschreiben Sie Y durch eine Halbgruppe (also A(Y ) = K[H] mit H ⊆ Z ² ). Ist Y normal, also eine torische Variet¨ at?

15. Gegeben seien die drei Polynome f ₁ := y−x ² , f ₂ := y−(x−1) ² und f ₃ := y−2x ² −1.

Bestimmen Sie die Homogenisierungen F ₁ , F ₂ , F ₃ der Polynome und berechnen Sie die Schnittmengen (mit Vielfachheiten) von

V (f ₁ ), V (f ₂ ) ⊂ A ² _R , V (f ₁ ), V (f ₃ ) ⊂ A ² _R , V (f ₁ ), V (f ₂ ) ⊂ A ² _C , V (f ₁ ), V (f ₃ ) ⊂ A ² _C , V (F ₁ ), V (F ₂ ) ⊂ P ² _R , V (f ₁ ), V (f ₃ ) ⊂ P ² _R , V (F 1 ), V (F 2 ) ⊂ P ² _C , V (f 1 ), V (f 3 ) ⊂ P ² _C .

16. Finden Sie eine Einbettung von P ¹ × P ¹ in einen projektiven Raum P ⁿ . Erweitern Sie Ihre L¨ osung zu Einbettungen P ^a × P ^b , → P ^n(a,b) f¨ ur a, b ∈ N . 17. Duale Kegel:

(i) Zeigen Sie ˇ σ ˇ = σ.

(ii) Dualisieren Sie die Kegel aus Aufgabe 8.

2

(3)

18. F¨ acher:

(i) Geben Sie einen F¨ acher f¨ ur P ³ an.

(ii) Beschreiben Sie die Variet¨ aten f¨ ur die folgenden zwei F¨ acher:

h(1, 0), (0, 1)i, h(−1, 0), (0, 1)i, h(0, −1)i + Seiten;

h(1, 0), (0, 1)i, h(−1, 0), (0, −1)i + Seiten.

19. Es sei Σ der Standardf¨ acher f¨ ur A ² (also mit dem maximalen Kegel h(1, 0), (0, 1)i) und es sei Σ ⁰ die Unterteilung von Σ durch den Strahl h(1, 1)i. Zeigen Sie, dass die F¨ acherabbildung Σ ⁰ → Σ die Aufblasungsprojektion π : B = X Σ

⁰

→ X Σ = A ² induziert.

20. Zeigen Sie durch eine explizite Parametrisierung, dass die Kurve V (y ² − x ² − x ³ ) rational ist.

21. Zeigen Sie, dass ein topologischer Raum X Hausdorff ist genau dann, wenn die Diagonale ∆ _X := {(x, x) | x ∈ X} ein abgeschlossene Teilmenge ist.

Warum ist eine affine Variet¨ at V , zum Beispiel V = A ¹ K (mit der Zariski-Topologie) nicht Hausdorff, obwohl ∆ _V Zariski-abgeschlossen in V × V ist?

22. Zeigen Sie, dass alle glatten, vollst¨ andigen torischen Fl¨ achen mit vier Strahlen von der Form F _a mit a ∈ N sind, also genau die Hirzebruch-Fl¨ achen.

1. Es sei P ( R ein Ideal in einem kommutativen Ring. Zeigen Sie, dass die folgenden Eigenschaften ¨ aquivalent sind:

Ubungsaufgaben Torische Geometrie ¨