1. Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen.

(1)

Eigenwerte und Eigenvektoren

Tutorien Höhere Mathematik II

Dienstag, 15. und 29.05. (1.Hälfte); Montag, 21.05.; Mittwoch, 23.05.2012

1. Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen.

A

₁

=

2 1 4 −1

, A

₂

= 1 2

4 3

, A

₃

=

3 0 0 −2

.

Warum bilden die Eigenvektoren in all diesen Fällen eine Basis des R

²

?

Geben Sie jeweils eine Diagonalmatrix D sowie eine Matrix V an, so dass für die jeweils betrachtete Matrix A die Beziehung A = V DV

⁻¹

gilt. Welche Rolle spielen diese Matrizen im Hinblick auf Basiswechsel etc.?

2. Berechnen Sie alle Eigenwerte der folgenden Matrizen sowie alle zugehörigen Eigenvektoren. Geben Sie jeweils die algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte an.

A =

2 1 4 −1

, B =

1 −2

2 1

, C =

2 1

−1 4

,

D =





1 0 0

3 3 −4

−2 1 −2



 , E =





3 −10 −10

0 3 0

0 −5 −2



 , F =





2 2 1

0 2 1

0 −1 0





Falls die geometrische Vielfachheit kleiner als die algebraische Vielfachheit ist, bestimmen Sie Haupt- vektoren höherer Stufe, die die Eigenvektoren zu einer Basis ergänzen.

3. Bestimmen Sie alle Eigenwerte der folgenden Matrizen sowie deren Vielfachheiten.

A =





5 1 0

1 5 0

0 0 −8



 , B =





1 2 3

2 −4 −2 3 −2 1



 , C =





1 1 3 1 5 1 3 1 1



 , D =





2 −1 2

−1 2 −2 2 −2 5





Warum ist es bei den hier genannten Matrizen möglich, eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu finden? Geben Sie eine solche an.

4. Bestimmen Sie eine Matrix A ∈ R

^2×2

mit den Eigenwerten λ

1

= 4 und λ

2

= −1 sowie den zugehö- rigen Eigenvektoren v

₁

= [1, 1]

^T

und v

₂

= [3, −2]

^T

.

1