Eigenwerte und Eigenvektoren
Tutorien Höhere Mathematik II, Sommersemester 2013
1. Welche der folgenden Mengen sind Basen desR3?
B1=
1 0 1
,
3 2 4
,
−1
−1
−1
B2=
1 0 1
,
3 2 3
,
−1
−1
−1
Bestimmen Sie alle α∈R, für die
B3=
1 0 1
,
3 α 4
,
−1
−1
−1
eine Basis desR3ist.
2. Konstruieren Sie eine Orthonormalbasis {b1, b2, b3}desR3 mitb1= 12√
2[1,−1,0]T. Geben Sie die Koordinaten des Vektors[1,1,2]T bezüglich dieser Basis an.
3. (a) Zeigen Sie, dass die folgende Abbildungen linear ist, und geben Sie deren Abbildungsmatrix an:
f :R3→R,
x y z
7→x+y+z.
(b) Geben Sie die Abbildungsmatrix der folgenden linearen Abbildung an:
~
g:R3→R3,
x y z
7→
x+ 2y
x−y 2y
.
4. (a) Wie lautet die Abbildungsmatrix für eine Spiegelung des R2 an einer Geraden durch den Ursprung mit Anstiegswinkel α = 60◦? Was ist das Bild des Vektors [1,−2]T unter dieser Spiegelung?
(b) Wie lautet die Abbildungsmatrix einer solchen Spiegelung mit beliebigem Winkelα∈[0, π)?
Sie erhalten eine besonders kompakte Form durch die Anwendung der Doppelwinkelfomeln.
(c) Zeigen Sie, dass jede orthogonale2×2-Matrix von der Gestalt a −b
b a
oder
a b b −a
mit a2+b2 = 1ist. Gibt es orthogonale 2×2-Matrizen, die keine Spiegelung oder Drehung beschreiben?(Diese Teilaufgabe ist etwas schwieriger und adressiert besonders talentierte Stu- denten.)
5. Zeigen Sie, dass das Produkt zweier orthogonaler Matrizen wieder eine orthogonale Matrix ist.
Gehen Sie dabei von der CharakterisierungU−1=UT aus.
6. Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen.
A1=
2 1 4 −1
, A2= 1 2
4 3
, A3=
3 0 0 −2
.
Warum bilden die Eigenvektoren in all diesen Fällen eine Basis des R2?
Geben Sie jeweils eine DiagonalmatrixDsowie eine MatrixV an, so dass für die jeweils betrachtete Matrix A die Beziehung A = V DV−1 gilt. Welche Rolle spielen diese Matrizen im Hinblick auf Basiswechsel etc.?
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7. Berechnen Sie alle Eigenwerte der folgenden Matrizen sowie alle zugehörigen Eigenvektoren. Geben Sie jeweils die algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte an.
A=
2 1 4 −1
, B=
1 −2
2 1
, C=
2 1
−1 4
,
D=
1 0 0
3 3 −4
−2 1 −2
, E=
3 −10 −10
0 3 0
0 −5 −2
, F =
2 2 1
0 2 1
0 −1 0
8. Bestimmen Sie alle Eigenwerte der folgenden Matrizen sowie deren Vielfachheiten.
A=
1 2 3
2 −4 −2 3 −2 1
, B=
1 1 3 1 5 1 3 1 1
, C=
2 −1 2
−1 2 −2 2 −2 5
Warum ist es bei den hier genannten Matrizen möglich, eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu finden? Geben Sie eine solche an.
9. Bestimmen Sie eine MatrixA∈R2×2mit den Eigenwertenλ1= 4undλ2=−1sowie den zugehö- rigen Eigenvektorenv1= [1,1]T undv2= [3,−2]T.
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