Fachhochschule München Fakultät 03 FA SS 2010
Diplomvorprüfung in Mathematik I (Lineare Algebra) – Fahrzeugtechnik
Arbeitszeit: 90 Minuten,
Hilfsmittel: Formelsammlung, Skripten, Bücher, Taschenrechner Aufgabensteller: Kaltsidou-Kloster, Pöschl ,Radtke, Selting, Warendorf
!! WICHTIG: Alle Rechnungen und Ergebnisse auf diesem Arbeitsblatt eintragen!!
Das Ergebnis allein zählt nicht. Der Rechenweg muss erkennbar sein!!
Name: Geb. – Datum Punkte: ( / 45 )
Vorname: Stud.- Gruppe Korr:
Raum/Platz-Nr: Aufsicht: Note:
Aufgabe 1: (Eigenwerte, Eigenvektoren von Matrizen max = 9 Punkte) a) Für die Matrix ( / 3)
A =
−
−
−
−
3 5 1
2 1 2
2 1 2
zeige man, dass λ 1 = 3 ein Eigenwert ist und ermittle die Eigenwerte λ 2 und λ 3 .
2
b) Berechnen Sie die Eigenvektoren zu den Eigenwerten. ( / 6)
Aufgabe 2 : (Lineares Gleichungssystem, max = 8 Punkte)
a) Für welche(n) Wert(e) von α ist das lineare Gleichungssystem ( / 4)
x1 + x2 + x3 = 3 x1 - x2 + 2x3 = 2 4x1 + 2x2 - x3 = α 3x1 + x2 + x3 = 2
lösbar ?
b) Bestimmen Sie die Lösung(en) in diesem Falle! ( / 4)
4
Aufgabe 3: (Berechnung der inversen Matrix max = 8 Punkte) Gegeben sind die Matrizen A und B
A =
−
−
−
−
−
1 3 5
2 0 3
4 2 1
B =
−
−
0 1 1 0
0 1 0 2
2 0
1 0
1 0 0 1
a) Prüfen Sie für beide Matrizen nach, ob sie eine Inverse besitzen. ( , 3)
b) Wie lautet sie ? ( , 5 )
6
Aufgabe 4: Koordinatentransformation ( / 8)
Im Koordinatensystem (x1, x2, x3) ist der Vektor a =
40 30 20
gegeben.
Durch Drehung von (x1, x2, x3 ) um die Achse x2 um den Winkel ß = 36,87 Grad entsteht das Koordinatensystem (y1, y2, y3 ) , in welchem ein weiterer Vektor b* =
−20 50 10
gegeben ist.
b ist die Darstellung von b* im Koordinatensystem (x1, x2, x3 ), a* ist die Darstellung von a im Koordinatensystem (y1, y2, y3 ).
Berechnen Sie Vektoren b und a* und die Skalarprodukte (a,b) und (a*, b* ) .
Aufgabe 5: (Hauptachsentransformation max = 12 Punkte) Gegeben ist die folgende Kurve 2. Ordnung :
4x12 + 4x1x2 + x22 +
2
5x1 - 5x2 = 0 .
a) Ermitteln Sie mit Hilfe der Hauptachsentransformation Art und Lage des Kegelschnittes. Zeichnen Sie (Teil b) die Kurve im gegebenen
Ausgangskoordinatensystem.
(Hinweis: Die Kurve ist nur gedreht nicht verschoben.)
( /8)
8
b) Zeichnen Sie die Lage des transformierten Achsensystems im x1,x2 System und zeichnen Sie den Graphen der Kurve.
( /4)
