Fachhochschule M¨ unchen Fachbereich 03 FA WS 02/03 Diplomvorpr¨ ufung in Mathematik - Fahrzeugtechnik -

Fachhochschule M¨ unchen Fachbereich 03 FA WS 02/03 Diplomvorpr¨ ufung in Mathematik - Fahrzeugtechnik -

Arbeitszeit: 90 Minuten

Hilfsmittel: Formelsammlung, Skripten, B¨ucher, Taschenrechner, ohne Graphikdisplay Aufgabensteller: Gr¨oger, Kloster, Pl¨ochinger, P¨oschl, Stiefenhofer

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Name: Geb.-Datum: Punkte:

Vorname: Stud.-Gruppe: Korr.:

Raum/Platz-Nr.: Aufsicht: Note:

Aufgabe 1: Gegeben sei die Funktion f (x) = √

1 + x

f¨ur −1 < x < 1 . Ermitteln Sie a) das MacLaurin-Polynom T

(x) von f (x) bis zum Term c

x

,

µ´

¶³

b) das Integral S =

0

T

(x) =

µ´

¶³

c) die N¨aherung Q des Integrals I =

0

f(x) dx mit der Kepler-Faßregel.

µ´

¶³

Aufgabe 2: Sei y = f (x) die Funktion der Periode 2π mit y = A · e

f¨ur 0 < x < 2π und der Konstanten A = π

1 − e

= 3.14747 · · · .

a) Skizzieren Sie y = f(x) f¨ur x ∈ (−2π, 4π) .

µ´

¶³

b) Ermitteln Sie von dieser Funktion den Fourier-Koeffizienten a

=

µ´

¶³

c) f¨ur n = 1, 2, · · · die Fourier-Koeffizienten a

=

µ´

¶³

d) f¨ur n = 1, 2, · · · die Fourier-Koeffizienten b

=

µ´

¶³

e) die Fourier-Reihe F (x) =

µ´

¶³

Aufgabe 3: Die Koordinaten eines Punktes P (x, y) einer ebene Kurve C seien in Parameterform gegeben durch x = t · cos t und y = cos t mit −

≤ t ≤

. Berechnen Sie

a) die Steigung y

von C in einem Kurvenpunkt P ,

µ´

¶³

b) das Maximum S(x

, y

) von C ,

µ´

¶³

c) den Inhalt A der von C umschlossenen Fl¨ache,

µ´

¶³

d) die Kr¨ummung κ von C im Punkt S .

µ´

¶³

e) Skizzieren Sie C .

µ´

¶³

Aufgabe 4: Durch y = 1 , y = 2x − 1 und y = 5 − x seien drei Geraden in der (x, y)-Ebene gegeben, die sich in den Punkten P , Q und R schneiden.

a) Zeichnen Sie die drei Geraden,

µ´

¶³

b) ermitteln Sie die Koordinaten von P , Q und R ,

µ´

¶³

c) zeigen Sie, daß z = f (x, y) = (x − 1)

+ (y − 1)

+ (x − 4)

+ (y − 1)

+ (x − 2)

+ (y − 3)

die Summe der Abstandsquadrate eines beliebigen Punktes M (x, y) zu P , Q und R ist.

¶³

d) F¨ur welchen Punkt M (x

, y

) ist f (x, y) extremal? Welches Extremum liegt vor?

µ´

¶³

Aufgabe 5: Sei y die L¨osung der DGL y

= f(y, y

) = 1 − (y

)

y mit y = 1 und y

= 0 bei x = 0 . a) Zeigen Sie, daß f¨ur die Ableitung v = y

von y gilt v = ±

p

y

− 1

y ,

µ´

¶³

b) berechnen Sie die L¨osung y ,

µ´

¶³

c) skizzieren Sie y .

µ´

¶³