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(1)

HOCHSCHULE MUNCHEN FAKULTAT 03 FA SS 10

DIPLOMVORPRUFUNG IN MATHEMATIK II - ANALYSIS - FAHRZEUGTECHNIK

Arbeitszeit: 90 Minuten

Hilfsmittel: Forrnelsammlung, 'Skripten, Bucher.Taschenrechner ohne Grafikdisplay Aufgabensteller: Kaltsidou-Kloster.Poschl.Radtke,Warendorf

WICHTIG: ABe Rechnungen und Ergebnisse auf diesem Arbeitsblatt eintragen!

Das Ergebnis allein zahlt nicht. Der Rechenweg muf erkennbar sein!

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Ceb-Datum:

Stud.-Gruppe:

Punkte:

Korr.:

/ ca. 62

Matrikelnummer:

Rauru/Platz-Nr.: Aufsicht: Note:

1

(2)

.1. Aufgabe: Ebene Kurven ( I ca. 11 Punkte) Gegeben ist die ebene Kurve

C : x(t) = t . sin(t), yet) = Vi, cos(t) 0:'::: t :'::: ^IT (a) FUllen Sie die Wertetabelle aus und skizzieren Sie die Kurve.

( lea. 4)

IT] x(t) I y(t) I

0 0 0 ® _@

'II'

(J,62·1

o^5fJf]

if

'II' A, 57/f (

2' ₁₁ ₆₆₆ _-10&50 I@®

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A 5"3 ~ --..:> ~ 5~ A. /;

Fortsetzung Aufgabe: Ebene Kurven

(b) Berec~n,enSie die Steigung mo = y' an der Stelle t - 7C ^" ^,

zugehorige Tangente in der Zeich ol ⁾ ^{0 -} ^.2' Skizaieren Sie die nung von a .

;.:- d.-: ': ^5t,,(-1:)^+t'^croC+)^{@ (}_I,~³⁾

o cU1 _~(-0 \TJl ' [ ) (j[')

~.::_= -1+ ^,S,Y]i l!V

o ^cht: ^'1yr

Xli=

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^=/1 ® _~ ⁽⁺⁼_~l)= _-~2533 ®

1]1" +~ ~(-f=~)~ -~2533®

("Bern.; ·'Iz flo! "Vtirl (.b) WM~e ^Q,\;)d.erlz?el[..tlt?~^h ^c:Le-tr

(c) Berechnen Sie die IUd==, und den IUd to = ~(gleiche Stelle wie bel bj). . mmungskreisradius an der Stelle ,QAA~Je ^{- ;;.]-} v~)

)l (t) ^z:un ^[i)+~ (&) --t'GI'h(t) == 17i"'\ ( ^lea.⁴⁾

. ~ ~ ^ce»^[t)^-L.^Slh(i) clJ

'~ ^{-/;=~}- ^- ^)t^5f03CJi)

,~^fi')~ ^-6in^(-f).^{;/A',f -} U9~(i;J^'J,J~ ^{_ {[' .}~^ft)- sl~(t)

u ' ,~,_ J«

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. _(x~+ _~Y/z. _~/;).. [(^1/⁺^(-A,^2533)T/'²

® _3~:I_~I_~:> ^®

(3)

Fortsetzung Aufgabe: Aufgabe: Newtonverfahren

(b) Berechnen Sie nun den Sehnittpunkt mit Hilfe des Newton- Verfahren. Sie mussen dazu die Gleichung x == h(x) in ein Nullstellenproblem tiberfiihren, also f(x) = x - h(x) = 0, Berechnen Sie X3 mit Hilfe des Newton-Verfahrens (Startwert xo=O,5).

Jea. 5)

.j{x).:.- x-1 +-o,5'~(X) 0)

fl(x)= 1 ^+0,5f~ ⁺-/a;v.'(x) }

X. =^X. ^_ H^x'i-') ^z:x. _ ^'f.j.-1^-1⁺^IJ,^5'.fo,.v,{xj.-<) .

0) _{J .} _~-~ f ^(X_J^-) ^J-1 1^{+- 0,5'}f,j ⁺~Y~'-J)

X=~5 ) ,

. ,'. o 015-11 tC),b'~^{OJ!? ⁼⁽⁾^{6?/p 4F85}

f?'l X -05'- ^VIA ^(5\ ^' ^{. '}

V ^1- ^, AJ5 +S^5\'1vvY)1 ^{OJ / '} ^{/ ,}

eJ b3308:Y"6~

:::z: J

@ ^X²⁼

= 6,6330:::r-q:2 3

6) ^{X- :}

= tJ), 6330~23==-X3

(X_tt⁼ _-0'/ I-ktro-\--;^ClIJI ~-t)

2, Aufgabe: Newtonverfahren / ca. 9 Punkte)

Gesueht ist del' Schnittpunkt zwischen der Geraden g(x) = x und der Funktion h(x) = 1--' ~. tan (x).

(a) FiillenSiedieWertetabelleundskizzierenSieg(x) = xundh(x) = 1-~·tan(x)

und lesen den Schnittpunkt aus der Skizze abo

Jca. 4)

o ^g(x) ^I ^h(x) ^~ _1).

0 ₀ 1 6D

0,2 0,2 0/10

0,4 ^0.1.+ oM ^l~-,

0,6 () G ⁰¹⁶⁶ ®

0,8 (J[g o,lf-9 $.,

C3!lJ

1 , ArD 0.22

.;;,;: ^,,:... ^"..^{, , '}.... , , , . "

... ... , ''':q(;,<)

·.. _>~O< ..··"'···.. "'~···"f(J1

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i ...•

^I;i"" ., _~(X) ^(j)

1..: ..., ."\

i: ii['", ' .

x

,ⁱ .ⁱ

4

(4)

3'. Aufgabe: Funktion von 2 Variablen

A .{ r \⁷ ^"(' ^{,) 4} ^X ^Y

l-p::: 6"1- 18 ^X-(-f)j-'9 _Y~2;=:f ⁺-11 -9~1

( lea, 13 Punkte) . Fortsetzung Aufgabe: Funktion von 2 Variablen \.!V

Gegeben ist die Funktion von 2 Variablen (c) Bereehnen Sie die Gleichung der Tangentialebene im Punkt P = (-1; 2; Zp).

1 A A ,.

Z = f(x,y) = -.-,-, -l ^:=. ^{. '} = --/iji' ( l e a , 2)

P 41-(-1)2 +(2)2 G t...!.V , )

(a) Welche Form haben die Hohenlinien? Setzen Sie dazu z /f = ZOo ₍ lea, 1 ) \ _.~fAF\ ']x!p ^c =- ^-2'{-{)G2.' ==+"""A8 ( ⁴ ^. JSjp ^{c :} ^-1.(+2.6 ² ^=_~~)g \..!.y

't:o~ ¹⁺^x^z^+::JZ '7 ^~--~--7(d) Bestimmen Sie falls vorhanden die Extremwerte und Sattelpunkte.

A 2 2 A .:- A ::::- \""

7. '2_

1+X +j - ~o ~> ^X +y.= ,zO J

2.

t;]1 ^I ® ^j)(^l,⁰ ^;:>^X£~^{0 }} ^"? E_~(() I^oi_~ ( ^1m.^{3 )}

~se..,~

,( gd ^y (J"< ~O ^.;~) 1:' ^5- ^z: ^-2 ^)0< ^Il ^XJ' ^f ^. ^,

0Y XXle _,.~ , (j3J

(b) Bereehnen Sie aile ersten und zweiten partiellen Ableitungen der Funktion.

@iJ ^f^:11/^f ~ ^- ^2. ~^-{£(!<^{<'0 9} HOJx,"'''rc,

-.2)( ® ( ^Ica.4)

.f^X·::= ^I^II~..,;"2.+,-/2. )'2. 2 ~Q:J ^' ^r;f>\JY ^)X:JIE^t. ^- ⁰

. ~~ ^.. ^{z :} ^S)'"(I/+X2+f)Z~y./

f ^.x _-~ _(1+l+~n ^{+.?X ·..}H ^-1+x'+,:N ^< (Jl'.'~~r

. XY. ',. ( /(+)(2-+:J '2) ^If ^\

~ 2 2

.: .,J~^{_'';/ -} 2:;/+8y:_ G^X^-J;j_~J ®

- ( A-f- Xz-+y2.)?:> (/{+X'Z+j?-Y~

/' 2 2 ~

' \ ( z: ~Y .a«.» 0)

OIr\oJej \, ^Jjj ^{( 11+}^'>(2+J"j _~

L ,,-(-.2^{X )}.:1. (Ad+:l ).(Zy) _ . 8 y.,y

) X J ( ' 2 ¹⁺^:J ⁺^X2.)'+ ^' (4-+x?+::l) ^7J

(e) Bereehnen Sie mit Polar- bzw. Zylinderkoordinaten

/1 f(x,y)dxdy,

G

..-. wobei G der Kreis um (0;0) mit dem Radius r = 1 ist.

2/0 ).

V^s: ⁽ ^{S ' ([} ^{A ,}r ] ok- \ d CD ( ^{lea. 3 )}

J l ) ^1+\'2- J. Y

~=o ^(;:0 ⁽lOOi olA⁼lV' ~).clx- @

J ⁼

l[

~ ~ ^(Atr²⁾ J{ c«r ⁼ ^j"ij

1

^jA,,(2)-;^Rj)j

q=o ⁰ _~O

~ ®

(5)

4. Aufgabe: Differentialgleichung 1. Ordnung Gegeben ist die Differentialgleiehung 1. Ordnung

( I ca. 7 Punkte) Forisetziinq AuJgabe: Differentialgleichung 1. Ordnv.ng

(e) Bestimmen Sie die spezielle Losung Y. ftir die Anfangsbedingung:

y,_J!.=3x³ x

(a) Bereehnen Sie pie allgemeine Losung der zugehorigen hornogenen Differential

gleichung. ~

/ - ~.t, -?» ~.~ --^_ r:ti:^\!!;/_Z ^{) (} ^lea.²⁾

~^-tv- ^T ^- ^'1{.. ^X

0~ljhl"kr)(I+C_c IS

("'-J

t){ .: _d~ e -x ^> C'X r

®

(b) Berechnen Sie die allg ehu 1 ememe. L"osung der obi en . h

ng . Ordnung .mit der Variation der Ko~sta~~e~~ogenenDifferentialglei

!)~^.'"~(X})<

®

"';>~'~ I/(X}x-tl({~ /~.3)

et^h

roM

^,'h ^ol'e ⁱ^h^{hom .}^JX;,^L ^(jj)

f I~· l<~ ^f

It LX)' ^X:tyr£ ^z: ^3x³ ^{.' )(}

~t< ^t: 3><7-

®

^=> ^M ",'3x~o4< ^IS@

l«x)~ ^/'+C^@

e: _\o~cl?:4- ^/v) ~ Avv,<'l.h l*") ^-.-:;>

·'6" ^X⁺⁺C.^X ®

Xo = 1,Yo= y(xo) = O. /\

A 'f

lea. 1 ) (l.{ _do== 0 ::" ^X^t{^-rC ^'X =-1 ^ofC'¹

0 A o _.

~ C=I-ⁱ¹ ®

(~r: ^{)(Lf --}^X ®

(d) Bereehnen Sie Ys (2) analytisch

Ica 1 )

~ (X= 2)-= 2^{It -} 2= 46 - 2 ~ 1^If

· 0

9

(6)

! .

Fortsetzunq 4uf b D'Ff .

5, Aufgabe: Dilferentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

( / ca. 12 Punkte) . K.q{ . _tJ<x-3 (ei;;'" i':,="""~h""9' 0"""'"

Gegeben'ist die Differentialgleiehung 2, Ordnung

y"- 6y' + 9y = eos.(2x)

(a) BerechnenSie die allgemeine Losung der zugehbrigen homogenen Differential

gl~ichung,' ^. ^::\)(

f4." -G~' +9'Lf =0 /fh;tl.::e (Jj)( ^/ca.2,5) ^{. .}

\f~ ^iu; ^Cl.ft.v ~ ^{2; )}nr-.

J t ,t /:' L' ^1\^1._~~ ⁺9 ^.= (J'l - ^3..J\£V

.9 ^G¥Ia,Qk..-t" . _~ ., J\

===-> ~₁⁼^j1₂~ ³ t/i)

¥~c-( ^C.⁺C.?x)/X @

(b). Bereehnen Sie die partikulaare L"osung.

ot.=D'I ^{, , '}1-B= 2 \ f ^/tY)::=(9 I ^, ^fl~A"~z: (\ ²~ ⁵ ^(lea.^5,5) /1'1 1 rX+if

r

^-= ^2a- ⁺^{';JZ .}^? ^e-c:

~ak: ~. ^:k@(2x)+1;$I,,(2><) cJ)

. £'00^-2^A^'5i^h(2~⁾⁺²¹³^,rro^(2:-)

~f'p~ ^-!fA,u»(2~-4-'B,G)"^(2)<)

f .

1J-p ^I~/ lWno{~; 0h~ ^i"^Me^r'hhlfYn^.J)6;[:

_Lf A,~~x)-4-'B ^.^6/,,(2^x)-61-~A ,SI,,(2x}+2J3$j(tx)}

+9{4 ^'W:l(Zx) ^f 'B' ^5/^h(2X)} ~ ^(ffj(2-»

(i) cro(2x): -4-A-^A2B +SA-= 1 (i) lii)"i"{2x): . -4-'B+124+97)~O ^@

elM? u0· r ^12A_-f5E,~O ⁹ 1) -'" - /2 A

') 5'

/I~h {~ ~ -IfA-(f2),(-~)It-+glt=1

!J t::!'. . ^12;:;11

~ _A=+169 ® _~> _B~-i69VV (~/'-1~9 ^{§.M{2')-,f2,~,"(2~,)}

(c) Geben S'algleichung an..ie di ^ieGesamtl"osung (allgemeine Losung) d ' er inhomogenen Differenti

1r=~~t?~(C:^{+c:,X- :} ^-r ^. ⁽ ¹⁼¹⁾ ⁸⁾

d)' i3.'... +F9 (5^Cru(2X^l_1)15[1-',(20)

( _und"""','" Sie die snezielle L' _y'_{(;;i; ='}0) "" 2 pezielle Losung fur die Anfan s e ' ."/

I. .. ^'0^>< ^{'.. ...} g bedingung vrz ~ ⁰⁾^d

!11 d~~e (3G{f SCjx.rC,tt) ^{. .} ⁺ ⁽ ~~

-t ~ j-1(),Slh(2x) -2<f-Ce.r (2'5J 1®

~.'^(f(x~oL^/ ^{L .}~ ~C¹^+.JJJ1J-^1G9¹ _~ ^c^• ~~(1)^1b9

It! a {X-::;o) ~2~^l ^3C⁴^+C.^'"^_;ti16~^fij;1.^\!V ~ ^C^:1^{=: -} ^-16'3~ ^0\^vv

~ 1~9 ~ ^I ~(2)<)-1:<

(7)

( lea 2)

... . ,..4'J

/ , " Ii \-0l

...

(a) Skizzieren Sie die Funktion im Interval! [-3,3[.

q . .@ ⁽²⁾

6. AUfgabe: Fourierreihen ( I ca. 10 Punkte) g

_ FO'l'tsfetzun ;::(~.~)rierrei~n. ^.( em _(~,h))1^17'

Gegeben ist die folgende periodisehe Funktion mit der Periode T = 2

b-2'- - . _ - ~

f(t) = ta fiir - 1 ~ t ~ 1, periodisch sonst.

'7 til· \') _(~._~2 (n> ^I-t)

"=- _ 2 CB)(1L,\1) ~ ~ ^{_ G.} 2.

til, ^V) l ' ⁽¹⁰lr))~ )

(c) Geben Sie das Fourier-Polynom bis zum 3. GJied an: Fa(t).

I [ { ~} ( l e a . 2,5)

Vi':.:, /( ~ ^b/f ^Z + ² ^{-1 -} _~ ^::: L.> ^0,243.6 ~12

'3 1 ^r⁰⁹^~ ^{-(/2 .}

(b) Errnitteln Sie die Fourierkoeffizienten (a0, an, b ) n •

b. ^{:= _} L. _~ /\- _~ =- ^0,2^b ⁽

V) ::: 2 .' > ~ 1\7 ^,21C

runlet-iCY'" Whlf'r=k ^" => a"_~o ft/ ^I"^5,5)

1/2 (?> (:<1l;\1 t ) . ar,=o ^-'t ® Î-\ Îr)z3 ^~ ^b^';l~⁼ ^+.^3'1\;^.2..^<;¹^{;j -} ^...3..----^'3L'~:Î 0, 1'1'18+ ^VY~

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